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Theorem oeoa 7265
Description: Sum of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8R of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.41 of [TakeutiZaring] p. 69. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
oeoa

Proof of Theorem oeoa
StepHypRef Expression
1 oa00 7227 . . . . . . . . 9
21biimpar 485 . . . . . . . 8
32oveq2d 6312 . . . . . . 7
4 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
5 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
6 oe0m0 7189 . . . . . . . . . . 11
75, 6syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
84, 7oveqan12d 6315 . . . . . . . . 9
9 0elon 4936 . . . . . . . . . . 11
10 oecl 7206 . . . . . . . . . . 11
119, 9, 10mp2an 672 . . . . . . . . . 10
12 om1 7210 . . . . . . . . . 10
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9
148, 13syl6eq 2514 . . . . . . . 8
1514adantl 466 . . . . . . 7
163, 15eqtr4d 2501 . . . . . 6
17 oacl 7204 . . . . . . . . . 10
18 on0eln0 4938 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9
20 oe0m1 7190 . . . . . . . . . 10
2117, 20syl 16 . . . . . . . . 9
221necon3abid 2703 . . . . . . . . 9
2319, 21, 223bitr3d 283 . . . . . . . 8
2423biimpar 485 . . . . . . 7
25 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . 12
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11
27 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . 12
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2926, 28orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
30 neorian 2784 . . . . . . . . . 10
3129, 30syl6bb 261 . . . . . . . . 9
32 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
3433oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
35 oecl 7206 . . . . . . . . . . . . . . 15
369, 35mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14
37 om0r 7208 . . . . . . . . . . . . . 14
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3934, 38sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . 12
4039an32s 804 . . . . . . . . . . 11
41 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14
4342oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
44 oecl 7206 . . . . . . . . . . . . . . 15
459, 44mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14
46 om0 7186 . . . . . . . . . . . . . 14
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4843, 47sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . 12
4948anassrs 648 . . . . . . . . . . 11
5040, 49jaodan 785 . . . . . . . . . 10
5150ex 434 . . . . . . . . 9
5231, 51sylbird 235 . . . . . . . 8
5352imp 429 . . . . . . 7
5424, 53eqtr4d 2501 . . . . . 6
5516, 54pm2.61dan 791 . . . . 5
56 oveq1 6303 . . . . . 6
57 oveq1 6303 . . . . . . 7
58 oveq1 6303 . . . . . . 7
5957, 58oveq12d 6314 . . . . . 6
6056, 59eqeq12d 2479 . . . . 5
6155, 60syl5ibr 221 . . . 4
6261impcom 430 . . 3
63 oveq1 6303 . . . . . . . 8
64 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
65 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
6664, 65oveq12d 6314 . . . . . . . 8
6763, 66eqeq12d 2479 . . . . . . 7
6867imbi2d 316 . . . . . 6
69 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
7069oveq2d 6312 . . . . . . . 8
71 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
7271oveq1d 6311 . . . . . . . 8
7370, 72eqeq12d 2479 . . . . . . 7
7473imbi2d 316 . . . . . 6
75 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
76 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
7775, 76anbi12d 710 . . . . . . . . 9
78 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
79 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
8078, 79anbi12d 710 . . . . . . . . 9
81 1on 7156 . . . . . . . . . 10
82 0lt1o 7173 . . . . . . . . . 10
8381, 82pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
8477, 80, 83elimhyp 4000 . . . . . . . 8
8584simpli 458 . . . . . . 7
8684simpri 462 . . . . . . 7
8781elimel 4004 . . . . . . 7
8885, 86, 87oeoalem 7264 . . . . . 6
8968, 74, 88dedth2h 3994 . . . . 5
9089impr 619 . . . 4
9190an32s 804 . . 3
9262, 91oe0lem 7182 . 2
93923impb 1192 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  ifcif 3941   con0 4883  (class class class)co 6296   c1o 7142   coa 7146   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oeoelem  7266  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
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