Theorem oeoe 7267

Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
oeoe

Proof of Theorem oeoe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12
2		oe0m0 7189	. . . . . . . . . . . 12
3	1, 2	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11
4	3	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10
5		oe1m 7213	. . . . . . . . . 10
6	4, 5	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . 9
7	6	adantll 713	. . . . . . . 8
8		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
9		0elon 4936	. . . . . . . . . . . 12
10		oecl 7206	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mpan 670	. . . . . . . . . . 11
12		oe0 7191	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10
14	8, 13	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . 9
15	14	adantlr 714	. . . . . . . 8
16	7, 15	jaodan 785	. . . . . . 7
17		om00 7243	. . . . . . . . . 10
18	17	biimpar 485	. . . . . . . . 9
19	18	oveq2d 6312	. . . . . . . 8
20	19, 2	syl6eq 2514	. . . . . . 7
21	16, 20	eqtr4d 2501	. . . . . 6
22		on0eln0 4938	. . . . . . . . . 10
23		on0eln0 4938	. . . . . . . . . 10
24	22, 23	bi2anan9 873	. . . . . . . . 9
25		neanior 2782	. . . . . . . . 9
26	24, 25	syl6bb 261	. . . . . . . 8
27		oe0m1 7190	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12
30		oe0m1 7190	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12
32	29, 31	sylan9eq 2518	. . . . . . . . . . 11
33	32	an4s 826	. . . . . . . . . 10
34		om00el 7244	. . . . . . . . . . . 12
35		omcl 7205	. . . . . . . . . . . . 13
36		oe0m1 7190	. . . . . . . . . . . . 13
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
38	34, 37	bitr3d 255	. . . . . . . . . . 11
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . 10
40	33, 39	eqtr4d 2501	. . . . . . . . 9
41	40	ex 434	. . . . . . . 8
42	26, 41	sylbird 235	. . . . . . 7
43	42	imp 429	. . . . . 6
44	21, 43	pm2.61dan 791	. . . . 5
45		oveq1 6303	. . . . . . 7
46	45	oveq1d 6311	. . . . . 6
47		oveq1 6303	. . . . . 6
48	46, 47	eqeq12d 2479	. . . . 5
49	44, 48	syl5ibr 221	. . . 4
50	49	impcom 430	. . 3
51		oveq1 6303	. . . . . . . . 9
52	51	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
53		oveq1 6303	. . . . . . . 8
54	52, 53	eqeq12d 2479	. . . . . . 7
55	54	imbi2d 316	. . . . . 6
56		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
57		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10
58	56, 57	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
59		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
60		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10
61	59, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
62		1on 7156	. . . . . . . . . 10
63		0lt1o 7173	. . . . . . . . . 10
64	62, 63	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9
65	58, 61, 64	elimhyp 4000	. . . . . . . 8
66	65	simpli 458	. . . . . . 7
67	65	simpri 462	. . . . . . 7
68	66, 67	oeoelem 7266	. . . . . 6
69	55, 68	dedth 3993	. . . . 5
70	69	imp 429	. . . 4
71	70	an32s 804	. . 3
72	50, 71	oe0lem 7182	. 2
73	72	3impb 1192	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  c0 3784  ifcif 3941  con0 4883  (class class class)co 6296  c1o 7142  comu 7147  coe 7148

This theorem is referenced by:  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155