MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeoe Unicode version

Theorem oeoe 7267
Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
oeoe

Proof of Theorem oeoe
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
2 oe0m0 7189 . . . . . . . . . . . 12
31, 2syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11
43oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
5 oe1m 7213 . . . . . . . . . 10
64, 5sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9
76adantll 713 . . . . . . . 8
8 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
9 0elon 4936 . . . . . . . . . . . 12
10 oecl 7206 . . . . . . . . . . . 12
119, 10mpan 670 . . . . . . . . . . 11
12 oe0 7191 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10
148, 13sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9
1514adantlr 714 . . . . . . . 8
167, 15jaodan 785 . . . . . . 7
17 om00 7243 . . . . . . . . . 10
1817biimpar 485 . . . . . . . . 9
1918oveq2d 6312 . . . . . . . 8
2019, 2syl6eq 2514 . . . . . . 7
2116, 20eqtr4d 2501 . . . . . 6
22 on0eln0 4938 . . . . . . . . . 10
23 on0eln0 4938 . . . . . . . . . 10
2422, 23bi2anan9 873 . . . . . . . . 9
25 neanior 2782 . . . . . . . . 9
2624, 25syl6bb 261 . . . . . . . 8
27 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . . 14
2827biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
2928oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12
30 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . 13
3130biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
3229, 31sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . 11
3332an4s 826 . . . . . . . . . 10
34 om00el 7244 . . . . . . . . . . . 12
35 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . 13
36 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3834, 37bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11
3938biimpa 484 . . . . . . . . . 10
4033, 39eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
4140ex 434 . . . . . . . 8
4226, 41sylbird 235 . . . . . . 7
4342imp 429 . . . . . 6
4421, 43pm2.61dan 791 . . . . 5
45 oveq1 6303 . . . . . . 7
4645oveq1d 6311 . . . . . 6
47 oveq1 6303 . . . . . 6
4846, 47eqeq12d 2479 . . . . 5
4944, 48syl5ibr 221 . . . 4
5049impcom 430 . . 3
51 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
5251oveq1d 6311 . . . . . . . 8
53 oveq1 6303 . . . . . . . 8
5452, 53eqeq12d 2479 . . . . . . 7
5554imbi2d 316 . . . . . 6
56 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
57 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
5856, 57anbi12d 710 . . . . . . . . 9
59 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
60 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
6159, 60anbi12d 710 . . . . . . . . 9
62 1on 7156 . . . . . . . . . 10
63 0lt1o 7173 . . . . . . . . . 10
6462, 63pm3.2i 455 . . . . . . . . 9
6558, 61, 64elimhyp 4000 . . . . . . . 8
6665simpli 458 . . . . . . 7
6765simpri 462 . . . . . . 7
6866, 67oeoelem 7266 . . . . . 6
6955, 68dedth 3993 . . . . 5
7069imp 429 . . . 4
7170an32s 804 . . 3
7250, 71oe0lem 7182 . 2
73723impb 1192 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  ifcif 3941   con0 4883  (class class class)co 6296   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator