Theorem oeoelem 7266

Description: Lemma for oeoe 7267. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oeoelem.1
oeoelem.2

Assertion

Ref	Expression
oeoelem

Proof of Theorem oeoelem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . 4
2		oveq2 6304	. . . . 5
3	2	oveq2d 6312	. . . 4
4	1, 3	eqeq12d 2479	. . 3
5		oveq2 6304	. . . 4
6		oveq2 6304	. . . . 5
7	6	oveq2d 6312	. . . 4
8	5, 7	eqeq12d 2479	. . 3
9		oveq2 6304	. . . 4
10		oveq2 6304	. . . . 5
11	10	oveq2d 6312	. . . 4
12	9, 11	eqeq12d 2479	. . 3
13		oveq2 6304	. . . 4
14		oveq2 6304	. . . . 5
15	14	oveq2d 6312	. . . 4
16	13, 15	eqeq12d 2479	. . 3
17		oeoelem.1	. . . . . 6
18		oecl 7206	. . . . . 6
19	17, 18	mpan 670	. . . . 5
20		oe0 7191	. . . . 5
21	19, 20	syl 16	. . . 4
22		om0 7186	. . . . . 6
23	22	oveq2d 6312	. . . . 5
24		oe0 7191	. . . . . 6
25	17, 24	ax-mp 5	. . . . 5
26	23, 25	syl6eq 2514	. . . 4
27	21, 26	eqtr4d 2501	. . 3
28		oveq1 6303	. . . . 5
29		oesuc 7196	. . . . . . 7
30	19, 29	sylan 471	. . . . . 6
31		omsuc 7195	. . . . . . . 8
32	31	oveq2d 6312	. . . . . . 7
33		omcl 7205	. . . . . . . . 9
34		oeoa 7265	. . . . . . . . . 10
35	17, 34	mp3an1 1311	. . . . . . . . 9
36	33, 35	sylan 471	. . . . . . . 8
37	36	anabss1 814	. . . . . . 7
38	32, 37	eqtrd 2498	. . . . . 6
39	30, 38	eqeq12d 2479	. . . . 5
40	28, 39	syl5ibr 221	. . . 4
41	40	expcom 435	. . 3
42		iuneq2 4347	. . . . 5
43		vex 3112	. . . . . . 7
44		oeoelem.2	. . . . . . . . . . 11
45		oen0 7254	. . . . . . . . . . 11
46	44, 45	mpan2 671	. . . . . . . . . 10
47		oelim 7203	. . . . . . . . . . 11
48	18, 47	sylanl1 650	. . . . . . . . . 10
49	46, 48	sylan2 474	. . . . . . . . 9
50	49	anabss1 814	. . . . . . . 8
51	17, 50	mpanl1 680	. . . . . . 7
52	43, 51	mpanr1 683	. . . . . 6
53		omlim 7202	. . . . . . . . 9
54	43, 53	mpanr1 683	. . . . . . . 8
55	54	oveq2d 6312	. . . . . . 7
56	43	a1i 11	. . . . . . . 8
57		limord 4942	. . . . . . . . . . . 12
58		ordelon 4907	. . . . . . . . . . . 12
59	57, 58	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
60	59, 33	sylan2 474	. . . . . . . . . 10
61	60	anassrs 648	. . . . . . . . 9
62	61	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8
63		0ellim 4945	. . . . . . . . . 10
64		ne0i 3790	. . . . . . . . . 10
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . 9
66	65	adantl 466	. . . . . . . 8
67		vex 3112	. . . . . . . . . 10
68		oelim 7203	. . . . . . . . . . . 12
69	44, 68	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11
70	17, 69	mpan 670	. . . . . . . . . 10
71	67, 70	mpan 670	. . . . . . . . 9
72		oewordi 7259	. . . . . . . . . . . 12
73	44, 72	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11
74	17, 73	mp3an3 1313	. . . . . . . . . 10
75	74	3impia 1193	. . . . . . . . 9
76	71, 75	onoviun 7033	. . . . . . . 8
77	56, 62, 66, 76	syl3anc 1228	. . . . . . 7
78	55, 77	eqtrd 2498	. . . . . 6
79	52, 78	eqeq12d 2479	. . . . 5
80	42, 79	syl5ibr 221	. . . 4
81	80	expcom 435	. . 3
82	4, 8, 12, 16, 27, 41, 81	tfinds3 6699	. 2
83	82	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c1o 7142  coa 7146  comu 7147  coe 7148

This theorem is referenced by:  oeoe  7267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155