MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeordi Unicode version

Theorem oeordi 7255
Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeordi

Proof of Theorem oeordi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
21eleq2d 2527 . . . 4
32imbi2d 316 . . 3
4 oveq2 6304 . . . . 5
54eleq2d 2527 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 oveq2 6304 . . . . 5
87eleq2d 2527 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 oveq2 6304 . . . . 5
1110eleq2d 2527 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 eldifi 3625 . . . . . . . 8
14 oecl 7206 . . . . . . . 8
1513, 14sylan 471 . . . . . . 7
16 om1 7210 . . . . . . 7
1715, 16syl 16 . . . . . 6
18 ondif2 7171 . . . . . . . . 9
1918simprbi 464 . . . . . . . 8
2019adantr 465 . . . . . . 7
2113adantr 465 . . . . . . . 8
22 simpr 461 . . . . . . . . 9
23 dif20el 7174 . . . . . . . . . 10
2423adantr 465 . . . . . . . . 9
25 oen0 7254 . . . . . . . . 9
2621, 22, 24, 25syl21anc 1227 . . . . . . . 8
27 omordi 7234 . . . . . . . 8
2821, 15, 26, 27syl21anc 1227 . . . . . . 7
2920, 28mpd 15 . . . . . 6
3017, 29eqeltrrd 2546 . . . . 5
31 oesuc 7196 . . . . . 6
3213, 31sylan 471 . . . . 5
3330, 32eleqtrrd 2548 . . . 4
3433expcom 435 . . 3
35 oecl 7206 . . . . . . . . . . 11
3613, 35sylan 471 . . . . . . . . . 10
37 om1 7210 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9
3919adantr 465 . . . . . . . . . 10
4013adantr 465 . . . . . . . . . . 11
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
4223adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
43 oen0 7254 . . . . . . . . . . . 12
4440, 41, 42, 43syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11
45 omordi 7234 . . . . . . . . . . 11
4640, 36, 44, 45syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . 9
4838, 47eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
49 oesuc 7196 . . . . . . . . 9
5013, 49sylan 471 . . . . . . . 8
5148, 50eleqtrrd 2548 . . . . . . 7
52 suceloni 6648 . . . . . . . . 9
53 oecl 7206 . . . . . . . . 9
5413, 52, 53syl2an 477 . . . . . . . 8
55 ontr1 4929 . . . . . . . 8
5654, 55syl 16 . . . . . . 7
5751, 56mpan2d 674 . . . . . 6
5857expcom 435 . . . . 5
5958adantr 465 . . . 4
6059a2d 26 . . 3
61 bi2.04 361 . . . . . 6
6261ralbii 2888 . . . . 5
63 r19.21v 2862 . . . . 5
6462, 63bitri 249 . . . 4
65 limsuc 6684 . . . . . . . . . 10
6665biimpa 484 . . . . . . . . 9
67 elex 3118 . . . . . . . . . . . . 13
68 sucexb 6644 . . . . . . . . . . . . . 14
69 sucidg 4961 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12
72 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
73 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . 14
7572, 74imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
7675rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
7771, 76mpid 41 . . . . . . . . . . 11
7877anc2li 557 . . . . . . . . . 10
7974rspcev 3210 . . . . . . . . . . 11
80 eliun 4335 . . . . . . . . . . 11
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . . 10
8278, 81syl6 33 . . . . . . . . 9
8366, 82syl 16 . . . . . . . 8
8483adantr 465 . . . . . . 7
8513adantl 466 . . . . . . . . . 10
86 simpl 457 . . . . . . . . . 10
8723adantl 466 . . . . . . . . . 10
88 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
89 oelim 7203 . . . . . . . . . . 11
9088, 89mpanlr1 686 . . . . . . . . . 10
9185, 86, 87, 90syl21anc 1227 . . . . . . . . 9
9291adantlr 714 . . . . . . . 8
9392eleq2d 2527 . . . . . . 7
9484, 93sylibrd 234 . . . . . 6
9594ex 434 . . . . 5
9695a2d 26 . . . 4
9764, 96syl5bi 217 . . 3
983, 6, 9, 12, 34, 60, 97tfindsg2 6696 . 2
9998impancom 440 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   c1o 7142   c2o 7143   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oeord  7256  oecan  7257  oeworde  7261  oelimcl  7268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator