Theorem oeordsuc 7262

Description: Ordering property of ordinal exponentiation with a successor exponent. Corollary 8.36 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oeordsuc

Proof of Theorem oeordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4908	. . . 4
2	1	ex 434	. . 3
3	2	adantr 465	. 2
4		oewordri 7260	. . . . . . . . . . 11
5	4	3adant1 1014	. . . . . . . . . 10
6		oecl 7206	. . . . . . . . . . . 12
7	6	3adant2 1015	. . . . . . . . . . 11
8		oecl 7206	. . . . . . . . . . . 12
9	8	3adant1 1014	. . . . . . . . . . 11
10		simp1 996	. . . . . . . . . . 11
11		omwordri 7240	. . . . . . . . . . 11
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
13	5, 12	syld 44	. . . . . . . . 9
14		oesuc 7196	. . . . . . . . . . 11
15	14	3adant2 1015	. . . . . . . . . 10
16	15	sseq1d 3530	. . . . . . . . 9
17	13, 16	sylibrd 234	. . . . . . . 8
18		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . 14
19		on0eln0 4938	. . . . . . . . . . . . . 14
20	18, 19	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
22		oen0 7254	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
24	21, 23	syld 44	. . . . . . . . . . 11
25		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25, 8	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14
27		omordi 7234	. . . . . . . . . . . . . 14
28	26, 27	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
30	29	com23 78	. . . . . . . . . . 11
31	24, 30	mpdd 40	. . . . . . . . . 10
32	31	3adant1 1014	. . . . . . . . 9
33		oesuc 7196	. . . . . . . . . . 11
34	33	3adant1 1014	. . . . . . . . . 10
35	34	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
36	32, 35	sylibrd 234	. . . . . . . 8
37	17, 36	jcad 533	. . . . . . 7
38	37	3expa 1196	. . . . . 6
39		sucelon 6652	. . . . . . 7
40		oecl 7206	. . . . . . . . 9
41		oecl 7206	. . . . . . . . 9
42		ontr2 4930	. . . . . . . . 9
43	40, 41, 42	syl2an 477	. . . . . . . 8
44	43	anandirs 831	. . . . . . 7
45	39, 44	sylan2b 475	. . . . . 6
46	38, 45	syld 44	. . . . 5
47	46	exp31 604	. . . 4
48	47	com4l 84	. . 3
49	48	imp 429	. 2
50	3, 49	mpdd 40	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  c0 3784  con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296  comu 7147  coe 7148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155