MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oesuclem Unicode version

Theorem oesuclem 7194
Description: Lemma for oesuc 7196. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oesuclem.1
oesuclem.2
Assertion
Ref Expression
oesuclem
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem oesuclem
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . 4
2 oesuclem.1 . . . . . . . 8
3 limord 4942 . . . . . . . 8
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7
5 ordelord 4905 . . . . . . 7
64, 5mpan 670 . . . . . 6
7 0elsuc 6670 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 limsuc 6684 . . . . . . 7
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6
11 ordelon 4907 . . . . . . . 8
124, 11mpan 670 . . . . . . 7
13 oe0m1 7190 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
1510, 14sylbi 195 . . . . 5
168, 15mpbid 210 . . . 4
171, 16sylan9eqr 2520 . . 3
18 oveq1 6303 . . . . 5
19 id 22 . . . . 5
2018, 19oveq12d 6314 . . . 4
21 ordelon 4907 . . . . . . 7
224, 21mpan 670 . . . . . 6
23 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
24 oe0m0 7189 . . . . . . . . . 10
25 1on 7156 . . . . . . . . . 10
2624, 25eqeltri 2541 . . . . . . . . 9
2723, 26syl6eqel 2553 . . . . . . . 8
2827adantl 466 . . . . . . 7
29 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . 11
3022, 29syl 16 . . . . . . . . . 10
3130biimpa 484 . . . . . . . . 9
32 0elon 4936 . . . . . . . . 9
3331, 32syl6eqel 2553 . . . . . . . 8
3433adantll 713 . . . . . . 7
3528, 34oe0lem 7182 . . . . . 6
3622, 35mpancom 669 . . . . 5
37 om0 7186 . . . . 5
3836, 37syl 16 . . . 4
3920, 38sylan9eqr 2520 . . 3
4017, 39eqtr4d 2501 . 2
41 oesuclem.2 . . . 4
4241ad2antlr 726 . . 3
4310, 12sylbi 195 . . . 4
44 oevn0 7184 . . . 4
4543, 44sylanl2 651 . . 3
46 ovex 6324 . . . . 5
47 oveq1 6303 . . . . . 6
48 eqid 2457 . . . . . 6
49 ovex 6324 . . . . . 6
5047, 48, 49fvmpt 5956 . . . . 5
5146, 50ax-mp 5 . . . 4
52 oevn0 7184 . . . . . 6
5322, 52sylanl2 651 . . . . 5
5453fveq2d 5875 . . . 4
5551, 54syl5eqr 2512 . . 3
5642, 45, 553eqtr4d 2508 . 2
5740, 56oe0lem 7182 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  e.cmpt 4510  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  `cfv 5593  (class class class)co 6296  reccrdg 7094   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oesuc  7196  onesuc  7199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator