Theorem oeworde 7261

Description: Ordinal exponentiation compared to its exponent. Proposition 8.37 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 7-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeworde

Proof of Theorem oeworde

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4
2		oveq2 6304	. . . 4
3	1, 2	sseq12d 3532	. . 3
4		id 22	. . . 4
5		oveq2 6304	. . . 4
6	4, 5	sseq12d 3532	. . 3
7		id 22	. . . 4
8		oveq2 6304	. . . 4
9	7, 8	sseq12d 3532	. . 3
10		id 22	. . . 4
11		oveq2 6304	. . . 4
12	10, 11	sseq12d 3532	. . 3
13		0ss 3814	. . . 4
14	13	a1i 11	. . 3
15		eloni 4893	. . . . . . 7
16	15	adantl 466	. . . . . 6
17		eldifi 3625	. . . . . . . 8
18		oecl 7206	. . . . . . . 8
19	17, 18	sylan 471	. . . . . . 7
20		eloni 4893	. . . . . . 7
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6
22		ordsucsssuc 6658	. . . . . 6
23	16, 21, 22	syl2anc 661	. . . . 5
24		suceloni 6648	. . . . . . . . 9
25		oecl 7206	. . . . . . . . 9
26	17, 24, 25	syl2an 477	. . . . . . . 8
27		eloni 4893	. . . . . . . 8
28	26, 27	syl 16	. . . . . . 7
29		id 22	. . . . . . . 8
30		vex 3112	. . . . . . . . . 10
31	30	sucid 4962	. . . . . . . . 9
32		oeordi 7255	. . . . . . . . 9
33	31, 32	mpi 17	. . . . . . . 8
34	24, 29, 33	syl2anr 478	. . . . . . 7
35		ordsucss 6653	. . . . . . 7
36	28, 34, 35	sylc 60	. . . . . 6
37		sstr2 3510	. . . . . 6
38	36, 37	syl5com 30	. . . . 5
39	23, 38	sylbid 215	. . . 4
40	39	expcom 435	. . 3
41		dif20el 7174	. . . . 5
42	17, 41	jca 532	. . . 4
43		ss2iun 4346	. . . . . 6
44		limuni 4943	. . . . . . . . 9
45		uniiun 4383	. . . . . . . . 9
46	44, 45	syl6eq 2514	. . . . . . . 8
47	46	adantr 465	. . . . . . 7
48		vex 3112	. . . . . . . . . 10
49		oelim 7203	. . . . . . . . . 10
50	48, 49	mpanlr1 686	. . . . . . . . 9
51	50	anasss 647	. . . . . . . 8
52	51	an12s 801	. . . . . . 7
53	47, 52	sseq12d 3532	. . . . . 6
54	43, 53	syl5ibr 221	. . . . 5
55	54	ex 434	. . . 4
56	42, 55	syl5 32	. . 3
57	3, 6, 9, 12, 14, 40, 56	tfinds3 6699	. 2
58	57	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c2o 7143  coe 7148

This theorem is referenced by:  oeeulem  7269  cnfcom3clem  8170  cnfcom3clemOLD  8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155