Theorem oewordri 7260

Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oewordri

Proof of Theorem oewordri

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . 5
2		oveq2 6304	. . . . 5
3	1, 2	sseq12d 3532	. . . 4
4		oveq2 6304	. . . . 5
5		oveq2 6304	. . . . 5
6	4, 5	sseq12d 3532	. . . 4
7		oveq2 6304	. . . . 5
8		oveq2 6304	. . . . 5
9	7, 8	sseq12d 3532	. . . 4
10		oveq2 6304	. . . . 5
11		oveq2 6304	. . . . 5
12	10, 11	sseq12d 3532	. . . 4
13		onelon 4908	. . . . . . 7
14		oe0 7191	. . . . . . 7
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6
16		oe0 7191	. . . . . . 7
17	16	adantr 465	. . . . . 6
18	15, 17	eqtr4d 2501	. . . . 5
19		eqimss 3555	. . . . 5
20	18, 19	syl 16	. . . 4
21		simpl 457	. . . . . 6
22		onelss 4925	. . . . . . 7
23	22	imp 429	. . . . . 6
24	13, 21, 23	jca31 534	. . . . 5
25		oecl 7206	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . 13
27		oecl 7206	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	3adant1 1014	. . . . . . . . . . . . 13
29		simp1 996	. . . . . . . . . . . . 13
30		omwordri 7240	. . . . . . . . . . . . 13
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
32	31	imp 429	. . . . . . . . . . 11
33	32	adantrl 715	. . . . . . . . . 10
34		omwordi 7239	. . . . . . . . . . . . 13
35	28, 34	syld3an3 1273	. . . . . . . . . . . 12
36	35	imp 429	. . . . . . . . . . 11
37	36	adantrr 716	. . . . . . . . . 10
38	33, 37	sstrd 3513	. . . . . . . . 9
39		oesuc 7196	. . . . . . . . . . 11
40	39	3adant2 1015	. . . . . . . . . 10
41	40	adantr 465	. . . . . . . . 9
42		oesuc 7196	. . . . . . . . . . 11
43	42	3adant1 1014	. . . . . . . . . 10
44	43	adantr 465	. . . . . . . . 9
45	38, 41, 44	3sstr4d 3546	. . . . . . . 8
46	45	exp520 1217	. . . . . . 7
47	46	com3r 79	. . . . . 6
48	47	imp4c 591	. . . . 5
49	24, 48	syl5 32	. . . 4
50	13	ancri 552	. . . . 5
51		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
52		limelon 4946	. . . . . . . . . . . . 13
53	51, 52	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12
54		0ellim 4945	. . . . . . . . . . . 12
55		oe0m1 7190	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12
57	53, 54, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
58		0ss 3814	. . . . . . . . . . 11
59	57, 58	syl6eqss 3553	. . . . . . . . . 10
60		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11
61	60	sseq1d 3530	. . . . . . . . . 10
62	59, 61	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9
63	62	adantl 466	. . . . . . . 8
64	63	a1dd 46	. . . . . . 7
65		ss2iun 4346	. . . . . . . . 9
66		oelim 7203	. . . . . . . . . . . . 13
67	51, 66	mpanlr1 686	. . . . . . . . . . . 12
68	67	an32s 804	. . . . . . . . . . 11
69	68	adantllr 718	. . . . . . . . . 10
70	21	anim1i 568	. . . . . . . . . . . . 13
71		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72		on0eln0 4938	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	71, 72	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . 15
74	73	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
76		oelim 7203	. . . . . . . . . . . . . 14
77	51, 76	mpanlr1 686	. . . . . . . . . . . . 13
78	70, 75, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
79	78	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
80	79	adantlll 717	. . . . . . . . . 10
81	69, 80	sseq12d 3532	. . . . . . . . 9
82	65, 81	syl5ibr 221	. . . . . . . 8
83	82	ex 434	. . . . . . 7
84	64, 83	oe0lem 7182	. . . . . 6
85	84	com12 31	. . . . 5
86	50, 85	syl5 32	. . . 4
87	3, 6, 9, 12, 20, 49, 86	tfinds3 6699	. . 3
88	87	expd 436	. 2
89	88	impcom 430	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U_ciun 4330  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c1o 7142  comu 7147  coe 7148

This theorem is referenced by:  oeordsuc  7262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155