MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oewordri Unicode version

Theorem oewordri 7260
Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oewordri

Proof of Theorem oewordri
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5
2 oveq2 6304 . . . . 5
31, 2sseq12d 3532 . . . 4
4 oveq2 6304 . . . . 5
5 oveq2 6304 . . . . 5
64, 5sseq12d 3532 . . . 4
7 oveq2 6304 . . . . 5
8 oveq2 6304 . . . . 5
97, 8sseq12d 3532 . . . 4
10 oveq2 6304 . . . . 5
11 oveq2 6304 . . . . 5
1210, 11sseq12d 3532 . . . 4
13 onelon 4908 . . . . . . 7
14 oe0 7191 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6
16 oe0 7191 . . . . . . 7
1716adantr 465 . . . . . 6
1815, 17eqtr4d 2501 . . . . 5
19 eqimss 3555 . . . . 5
2018, 19syl 16 . . . 4
21 simpl 457 . . . . . 6
22 onelss 4925 . . . . . . 7
2322imp 429 . . . . . 6
2413, 21, 23jca31 534 . . . . 5
25 oecl 7206 . . . . . . . . . . . . . 14
26253adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13
27 oecl 7206 . . . . . . . . . . . . . 14
28273adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
29 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13
30 omwordri 7240 . . . . . . . . . . . . 13
3126, 28, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
3231imp 429 . . . . . . . . . . 11
3332adantrl 715 . . . . . . . . . 10
34 omwordi 7239 . . . . . . . . . . . . 13
3528, 34syld3an3 1273 . . . . . . . . . . . 12
3635imp 429 . . . . . . . . . . 11
3736adantrr 716 . . . . . . . . . 10
3833, 37sstrd 3513 . . . . . . . . 9
39 oesuc 7196 . . . . . . . . . . 11
40393adant2 1015 . . . . . . . . . 10
4140adantr 465 . . . . . . . . 9
42 oesuc 7196 . . . . . . . . . . 11
43423adant1 1014 . . . . . . . . . 10
4443adantr 465 . . . . . . . . 9
4538, 41, 443sstr4d 3546 . . . . . . . 8
4645exp520 1217 . . . . . . 7
4746com3r 79 . . . . . 6
4847imp4c 591 . . . . 5
4924, 48syl5 32 . . . 4
5013ancri 552 . . . . 5
51 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
52 limelon 4946 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
54 0ellim 4945 . . . . . . . . . . . 12
55 oe0m1 7190 . . . . . . . . . . . . 13
5655biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12
5753, 54, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
58 0ss 3814 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl6eqss 3553 . . . . . . . . . 10
60 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
6160sseq1d 3530 . . . . . . . . . 10
6259, 61syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
6362adantl 466 . . . . . . . 8
6463a1dd 46 . . . . . . 7
65 ss2iun 4346 . . . . . . . . 9
66 oelim 7203 . . . . . . . . . . . . 13
6751, 66mpanlr1 686 . . . . . . . . . . . 12
6867an32s 804 . . . . . . . . . . 11
6968adantllr 718 . . . . . . . . . 10
7021anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13
71 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7371, 72syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
76 oelim 7203 . . . . . . . . . . . . . 14
7751, 76mpanlr1 686 . . . . . . . . . . . . 13
7870, 75, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
7978adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
8079adantlll 717 . . . . . . . . . 10
8169, 80sseq12d 3532 . . . . . . . . 9
8265, 81syl5ibr 221 . . . . . . . 8
8382ex 434 . . . . . . 7
8464, 83oe0lem 7182 . . . . . 6
8584com12 31 . . . . 5
8650, 85syl5 32 . . . 4
873, 6, 9, 12, 20, 49, 86tfinds3 6699 . . 3
8887expd 436 . 2
8988impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   c1o 7142   comu 7147   coe 7148
This theorem is referenced by:  oeordsuc  7262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155
  Copyright terms: Public domain W3C validator