MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oexpneg Unicode version

Theorem oexpneg 14049
Description: The exponential of the negative of a number, when the exponent is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
oexpneg

Proof of Theorem oexpneg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 10911 . . . . 5
2 odd2np1 14046 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
43biimpa 484 . . 3
543adant1 1014 . 2
6 simpl1 999 . . . . . 6
7 simprr 757 . . . . . . . 8
8 simpl2 1000 . . . . . . . . . 10
98nncnd 10577 . . . . . . . . 9
10 1cnd 9633 . . . . . . . . 9
11 2z 10921 . . . . . . . . . . 11
12 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
13 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 13sylancr 663 . . . . . . . . . 10
1514zcnd 10995 . . . . . . . . 9
169, 10, 15subadd2d 9973 . . . . . . . 8
177, 16mpbird 232 . . . . . . 7
18 nnm1nn0 10862 . . . . . . . 8
198, 18syl 16 . . . . . . 7
2017, 19eqeltrrd 2546 . . . . . 6
216, 20expcld 12310 . . . . 5
2221, 6mulneg2d 10035 . . . 4
23 sqneg 12228 . . . . . . . . 9
246, 23syl 16 . . . . . . . 8
2524oveq1d 6311 . . . . . . 7
266negcld 9941 . . . . . . . 8
27 2re 10630 . . . . . . . . . . 11
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10
2912zred 10994 . . . . . . . . . 10
30 2pos 10652 . . . . . . . . . . 11
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10
3220nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . 10
33 prodge0 10414 . . . . . . . . . 10
3428, 29, 31, 32, 33syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
35 elnn0z 10902 . . . . . . . . 9
3612, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . . . 8
37 2nn0 10837 . . . . . . . . 9
3837a1i 11 . . . . . . . 8
3926, 36, 38expmuld 12313 . . . . . . 7
406, 36, 38expmuld 12313 . . . . . . 7
4125, 39, 403eqtr4d 2508 . . . . . 6
4241oveq1d 6311 . . . . 5
4326, 20expp1d 12311 . . . . . 6
447oveq2d 6312 . . . . . 6
4543, 44eqtr3d 2500 . . . . 5
4642, 45eqtr3d 2500 . . . 4
4722, 46eqtr3d 2500 . . 3
486, 20expp1d 12311 . . . . 5
497oveq2d 6312 . . . . 5
5048, 49eqtr3d 2500 . . . 4
5150negeqd 9837 . . 3
5247, 51eqtr3d 2500 . 2
535, 52rexlimddv 2953 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828  -ucneg 9829   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166   cdvds 13986
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  23174  dcubic2  23175  mcubic  23178  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem4  23627  m1lgs  23637  stirlinglem5  31860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator