Theorem ofco 6560

Description: The composition of a function operation with another function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofco.1
ofco.2
ofco.3
ofco.4
ofco.5
ofco.6
ofco.7

Assertion

Ref	Expression
ofco

Proof of Theorem ofco

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofco.3	. . . 4
2	1	ffvelrnda 6031	. . 3
3	1	feqmptd 5926	. . 3
4		ofco.1	. . . 4
5		ofco.2	. . . 4
6		ofco.4	. . . 4
7		ofco.5	. . . 4
8		ofco.7	. . . 4
9		eqidd 2458	. . . 4
10		eqidd 2458	. . . 4
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	offval 6547	. . 3
12		fveq2 5871	. . . 4
13		fveq2 5871	. . . 4
14	12, 13	oveq12d 6314	. . 3
15	2, 3, 11, 14	fmptco 6064	. 2
16		inss1 3717	. . . . . 6
17	8, 16	eqsstr3i 3534	. . . . 5
18		fss 5744	. . . . 5
19	1, 17, 18	sylancl 662	. . . 4
20		fnfco 5755	. . . 4
21	4, 19, 20	syl2anc 661	. . 3
22		inss2 3718	. . . . . 6
23	8, 22	eqsstr3i 3534	. . . . 5
24		fss 5744	. . . . 5
25	1, 23, 24	sylancl 662	. . . 4
26		fnfco 5755	. . . 4
27	5, 25, 26	syl2anc 661	. . 3
28		ofco.6	. . 3
29		inidm 3706	. . 3
30		ffn 5736	. . . . 5
31	1, 30	syl 16	. . . 4
32		fvco2 5948	. . . 4
33	31, 32	sylan 471	. . 3
34		fvco2 5948	. . . 4
35	31, 34	sylan 471	. . 3
36	21, 27, 28, 28, 29, 33, 35	offval 6547	. 2
37	15, 36	eqtr4d 2501	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475  e.cmpt 4510  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  oFcof 6538

This theorem is referenced by:  gsumzaddlem  16934  gsumzaddlemOLD  16936  coe1add  18305  pf1ind  18391  mendring  31141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540