MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offval Unicode version

Theorem offval 6547
Description: Value of an operation applied to two functions. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
offval.1
offval.2
offval.3
offval.4
offval.5
offval.6
offval.7
Assertion
Ref Expression
offval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,S   ,

Proof of Theorem offval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offval.1 . . . 4
2 offval.3 . . . 4
3 fnex 6139 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3
5 offval.2 . . . 4
6 offval.4 . . . 4
7 fnex 6139 . . . 4
85, 6, 7syl2anc 661 . . 3
9 fndm 5685 . . . . . . . 8
101, 9syl 16 . . . . . . 7
11 fndm 5685 . . . . . . . 8
125, 11syl 16 . . . . . . 7
1310, 12ineq12d 3700 . . . . . 6
14 offval.5 . . . . . 6
1513, 14syl6eq 2514 . . . . 5
1615mpteq1d 4533 . . . 4
17 inex1g 4595 . . . . . 6
1814, 17syl5eqelr 2550 . . . . 5
19 mptexg 6142 . . . . 5
202, 18, 193syl 20 . . . 4
2116, 20eqeltrd 2545 . . 3
22 dmeq 5208 . . . . . 6
23 dmeq 5208 . . . . . 6
2422, 23ineqan12d 3701 . . . . 5
25 fveq1 5870 . . . . . 6
26 fveq1 5870 . . . . . 6
2725, 26oveqan12d 6315 . . . . 5
2824, 27mpteq12dv 4530 . . . 4
29 df-of 6540 . . . 4
3028, 29ovmpt2ga 6432 . . 3
314, 8, 21, 30syl3anc 1228 . 2
3214eleq2i 2535 . . . . 5
33 elin 3686 . . . . 5
3432, 33bitr3i 251 . . . 4
35 offval.6 . . . . . 6
3635adantrr 716 . . . . 5
37 offval.7 . . . . . 6
3837adantrl 715 . . . . 5
3936, 38oveq12d 6314 . . . 4
4034, 39sylan2b 475 . . 3
4140mpteq2dva 4538 . 2
4231, 16, 413eqtrd 2502 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  i^icin 3474  e.cmpt 4510  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593  (class class class)co 6296  oFcof 6538
This theorem is referenced by:  ofval  6549  offn  6551  off  6554  ofres  6555  offval2  6556  suppssof1OLD  6559  ofco  6560  offveqb  6562  suppssof1  6952  o1rlimmul  13441  gsumbagdiaglem  18027  evlslem1  18184  psrplusgpropd  18277  frlmipval  18810  frlmphllem  18811  frlmphl  18812  mat1dimscm  18977  rrxcph  21824  rrxds  21825  mbfadd  22068  mbfsub  22069  mbfmullem2  22131  mbfmul  22133  bddmulibl  22245  dvcmulf  22348  ofrn2  27480  off2  27481  ofresid  27482  offval2f  27506  ofcof  28106  plymul02  28503  signsplypnf  28507  signsply0  28508  itg2addnc  30069  ftc1anclem8  30097  dflinc2  33011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540
  Copyright terms: Public domain W3C validator