Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  offval22 Unicode version

Theorem offval22 6879
 Description: The function operation expressed as a mapping, variation of offval2 6556. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
offval22.a
offval22.b
offval22.c
offval22.d
offval22.f
offval22.g
Assertion
Ref Expression
offval22
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem offval22
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offval22.a . . . 4
2 offval22.b . . . 4
3 xpexg 6602 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3
5 xp1st 6830 . . . . 5
6 xp2nd 6831 . . . . 5
75, 6jca 532 . . . 4
8 fvex 5881 . . . . . 6
9 fvex 5881 . . . . . 6
10 nfcv 2619 . . . . . . 7
11 nfcv 2619 . . . . . . 7
12 nfcv 2619 . . . . . . 7
13 nfv 1707 . . . . . . . 8
14 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
1514nfel1 2635 . . . . . . . 8
1613, 15nfim 1920 . . . . . . 7
17 nfv 1707 . . . . . . . 8
18 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
1918nfel1 2635 . . . . . . . 8
2017, 19nfim 1920 . . . . . . 7
21 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
22213anbi3d 1305 . . . . . . . 8
23 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
2423eleq1d 2526 . . . . . . . 8
2522, 24imbi12d 320 . . . . . . 7
26 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
27263anbi2d 1304 . . . . . . . 8
28 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
2928eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3027, 29imbi12d 320 . . . . . . 7
31 offval22.c . . . . . . . 8
32 elex 3118 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
3410, 11, 12, 16, 20, 25, 30, 33vtocl2gf 3169 . . . . . 6
358, 9, 34mp2an 672 . . . . 5
36353expb 1197 . . . 4
377, 36sylan2 474 . . 3
38 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
3938nfel1 2635 . . . . . . . 8
4013, 39nfim 1920 . . . . . . 7
41 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
4241nfel1 2635 . . . . . . . 8
4317, 42nfim 1920 . . . . . . 7
44 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
4544eleq1d 2526 . . . . . . . 8
4622, 45imbi12d 320 . . . . . . 7
47 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
4847eleq1d 2526 . . . . . . . 8
4927, 48imbi12d 320 . . . . . . 7
50 offval22.d . . . . . . . 8
51 elex 3118 . . . . . . . 8
5250, 51syl 16 . . . . . . 7
5310, 11, 12, 40, 43, 46, 49, 52vtocl2gf 3169 . . . . . 6
548, 9, 53mp2an 672 . . . . 5
55543expb 1197 . . . 4
567, 55sylan2 474 . . 3
57 offval22.f . . . 4
58 mpt2mpts 6864 . . . 4
5957, 58syl6eq 2514 . . 3
60 offval22.g . . . 4
61 mpt2mpts 6864 . . . 4
6260, 61syl6eq 2514 . . 3
634, 37, 56, 59, 62offval2 6556 . 2
64 csbov12g 6333 . . . . . . 7
6564csbeq2dv 3835 . . . . . 6
668, 65ax-mp 5 . . . . 5
67 csbov12g 6333 . . . . . 6
689, 67ax-mp 5 . . . . 5
6966, 68eqtr2i 2487 . . . 4
7069mpteq2i 4535 . . 3
71 mpt2mpts 6864 . . 3
7270, 71eqtr4i 2489 . 2
7363, 72syl6eq 2514 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  [_csb 3434  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  oF`cof 6538   c1st 6798   c2nd 6799 This theorem is referenced by:  matsc  18952  mdetrsca2  19106  mdetrlin2  19109  mdetunilem5  19118  smadiadetglem2  19174  mat2pmatghm  19231  pm2mpghm  19317 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540  df-1st 6800  df-2nd 6801
 Copyright terms: Public domain W3C validator