Theorem offval22 6879

Description: The function operation expressed as a mapping, variation of offval2 6556. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
offval22.a
offval22.b
offval22.c
offval22.d
offval22.f
offval22.g

Assertion

Ref	Expression
offval22

Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem offval22

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offval22.a	. . . 4
2		offval22.b	. . . 4
3		xpexg 6602	. . . 4
4	1, 2, 3	syl2anc 661	. . 3
5		xp1st 6830	. . . . 5
6		xp2nd 6831	. . . . 5
7	5, 6	jca 532	. . . 4
8		fvex 5881	. . . . . 6
9		fvex 5881	. . . . . 6
10		nfcv 2619	. . . . . . 7
11		nfcv 2619	. . . . . . 7
12		nfcv 2619	. . . . . . 7
13		nfv 1707	. . . . . . . 8
14		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . 9
15	14	nfel1 2635	. . . . . . . 8
16	13, 15	nfim 1920	. . . . . . 7
17		nfv 1707	. . . . . . . 8
18		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . 9
19	18	nfel1 2635	. . . . . . . 8
20	17, 19	nfim 1920	. . . . . . 7
21		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
22	21	3anbi3d 1305	. . . . . . . 8
23		csbeq1a 3443	. . . . . . . . 9
24	23	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
25	22, 24	imbi12d 320	. . . . . . 7
26		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
27	26	3anbi2d 1304	. . . . . . . 8
28		csbeq1a 3443	. . . . . . . . 9
29	28	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
30	27, 29	imbi12d 320	. . . . . . 7
31		offval22.c	. . . . . . . 8
32		elex 3118	. . . . . . . 8
33	31, 32	syl 16	. . . . . . 7
34	10, 11, 12, 16, 20, 25, 30, 33	vtocl2gf 3169	. . . . . 6
35	8, 9, 34	mp2an 672	. . . . 5
36	35	3expb 1197	. . . 4
37	7, 36	sylan2 474	. . 3
38		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . 9
39	38	nfel1 2635	. . . . . . . 8
40	13, 39	nfim 1920	. . . . . . 7
41		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . 9
42	41	nfel1 2635	. . . . . . . 8
43	17, 42	nfim 1920	. . . . . . 7
44		csbeq1a 3443	. . . . . . . . 9
45	44	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
46	22, 45	imbi12d 320	. . . . . . 7
47		csbeq1a 3443	. . . . . . . . 9
48	47	eleq1d 2526	. . . . . . . 8
49	27, 48	imbi12d 320	. . . . . . 7
50		offval22.d	. . . . . . . 8
51		elex 3118	. . . . . . . 8
52	50, 51	syl 16	. . . . . . 7
53	10, 11, 12, 40, 43, 46, 49, 52	vtocl2gf 3169	. . . . . 6
54	8, 9, 53	mp2an 672	. . . . 5
55	54	3expb 1197	. . . 4
56	7, 55	sylan2 474	. . 3
57		offval22.f	. . . 4
58		mpt2mpts 6864	. . . 4
59	57, 58	syl6eq 2514	. . 3
60		offval22.g	. . . 4
61		mpt2mpts 6864	. . . 4
62	60, 61	syl6eq 2514	. . 3
63	4, 37, 56, 59, 62	offval2 6556	. 2
64		csbov12g 6333	. . . . . . 7
65	64	csbeq2dv 3835	. . . . . 6
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . 5
67		csbov12g 6333	. . . . . 6
68	9, 67	ax-mp 5	. . . . 5
69	66, 68	eqtr2i 2487	. . . 4
70	69	mpteq2i 4535	. . 3
71		mpt2mpts 6864	. . 3
72	70, 71	eqtr4i 2489	. 2
73	63, 72	syl6eq 2514	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  [_csb 3434  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  oFcof 6538  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem is referenced by:  matsc  18952  mdetrsca2  19106  mdetrlin2  19109  mdetunilem5  19118  smadiadetglem2  19174  mat2pmatghm  19231  pm2mpghm  19317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6540  df-1st 6800  df-2nd 6801