MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofrfval Unicode version

Theorem ofrfval 6548
Description: Value of a relation applied to two functions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
offval.1
offval.2
offval.3
offval.4
offval.5
offval.6
offval.7
Assertion
Ref Expression
ofrfval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,S   ,

Proof of Theorem ofrfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offval.1 . . . 4
2 offval.3 . . . 4
3 fnex 6139 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3
5 offval.2 . . . 4
6 offval.4 . . . 4
7 fnex 6139 . . . 4
85, 6, 7syl2anc 661 . . 3
9 dmeq 5208 . . . . . 6
10 dmeq 5208 . . . . . 6
119, 10ineqan12d 3701 . . . . 5
12 fveq1 5870 . . . . . 6
13 fveq1 5870 . . . . . 6
1412, 13breqan12d 4467 . . . . 5
1511, 14raleqbidv 3068 . . . 4
16 df-ofr 6541 . . . 4
1715, 16brabga 4766 . . 3
184, 8, 17syl2anc 661 . 2
19 fndm 5685 . . . . . 6
201, 19syl 16 . . . . 5
21 fndm 5685 . . . . . 6
225, 21syl 16 . . . . 5
2320, 22ineq12d 3700 . . . 4
24 offval.5 . . . 4
2523, 24syl6eq 2514 . . 3
2625raleqdv 3060 . 2
27 inss1 3717 . . . . . . 7
2824, 27eqsstr3i 3534 . . . . . 6
2928sseli 3499 . . . . 5
30 offval.6 . . . . 5
3129, 30sylan2 474 . . . 4
32 inss2 3718 . . . . . . 7
3324, 32eqsstr3i 3534 . . . . . 6
3433sseli 3499 . . . . 5
35 offval.7 . . . . 5
3634, 35sylan2 474 . . . 4
3731, 36breq12d 4465 . . 3
3837ralbidva 2893 . 2
3918, 26, 383bitrd 279 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  i^icin 3474   class class class wbr 4452  domcdm 5004  Fnwfn 5588  `cfv 5593  oRcofr 6539
This theorem is referenced by:  ofrval  6550  ofrfval2  6557  caofref  6566  caofrss  6573  caoftrn  6575  ofsubge0  10560  pwsle  14889  pwsleval  14890  psrbaglesupp  18017  psrbaglesuppOLD  18018  psrbagcon  18022  psrbaglefi  18023  psrbaglefiOLD  18024  psrlidm  18056  psrlidmOLD  18057  0plef  22079  0pledm  22080  itg1ge0  22093  mbfi1fseqlem5  22126  xrge0f  22138  itg2ge0  22142  itg2lea  22151  itg2splitlem  22155  itg2monolem1  22157  itg2mono  22160  itg2i1fseqle  22161  itg2i1fseq  22162  itg2addlem  22165  itg2cnlem1  22168  itg2addnclem  30066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ofr 6541
  Copyright terms: Public domain W3C validator