Theorem oicl 7975

Description: The order type of the well-order on is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1

Assertion

Ref	Expression
oicl

Proof of Theorem oicl

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . 5
2		eqid 2457	. . . . 5
3		eqid 2457	. . . . 5
4	1, 2, 3	ordtypecbv 7963	. . . 4
5		eqid 2457	. . . 4
6		oicl.1	. . . 4
7		simpl 457	. . . 4
8		simpr 461	. . . 4
9	4, 2, 3, 5, 6, 7, 8	ordtypelem5 7968	. . 3
10	9	simpld 459	. 2
11		ord0 4935	. . 3
12	6	oi0 7974	. . . . . 6
13	12	dmeqd 5210	. . . . 5
14		dm0 5221	. . . . 5
15	13, 14	syl6eq 2514	. . . 4
16		ordeq 4890	. . . 4
17	15, 16	syl 16	. . 3
18	11, 17	mpbiri 233	. 2
19	10, 18	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -->wf 5589  iota_crio 6256  recscrecs 7060  OrdIsocoi 7955

This theorem is referenced by:  oion  7982  oieu  7985  oismo  7986  oiid  7987  wofib  7991  cantnflt  8112  cantnfp1lem3  8120  cantnflem1b  8126  cantnflem1  8129  cantnfltOLD  8142  cantnfp1lem3OLD  8146  cantnflem1bOLD  8149  cantnflem1OLD  8152  wemapwe  8160  wemapweOLD  8161  cnfcomlem  8164  cnfcom  8165  cnfcom2lem  8166  cnfcomlemOLD  8172  cnfcomOLD  8173  cnfcom2lemOLD  8174  infxpenlem  8412  hsmexlem1  8827  fpwwe2lem8  9036  fpwwe2lem9  9037  fpwwe2lem10  9038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061  df-oi 7956