Theorem oiid 7987

Description: The order type of an ordinal under the e. order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oiid

Proof of Theorem oiid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordwe 4896	. 2
2		epse 4867	. . 3
3	2	a1i 11	. 2
4		eqid 2457	. . . . . 6
5	4	oiiso2 7977	. . . . 5
6	1, 2, 5	sylancl 662	. . . 4
7		ordsson 6625	. . . . . . 7
8	4	oismo 7986	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6
10	9	simprd 463	. . . . 5
11		isoeq5 6219	. . . . 5
12	10, 11	syl 16	. . . 4
13	6, 12	mpbid 210	. . 3
14	4	oicl 7975	. . . . . 6
15	14	a1i 11	. . . . 5
16		id 22	. . . . 5
17		ordiso2 7961	. . . . 5
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1228	. . . 4
19		isoeq4 6218	. . . 4
20	18, 19	syl 16	. . 3
21	13, 20	mpbid 210	. 2
22		weniso 6250	. 2
23	1, 3, 21, 22	syl3anc 1228	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  C_wss 3475  cep 4794  cid 4795  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Isomwiso 5594  Smowsmo 7035  OrdIsocoi 7955

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-smo 7036  df-recs 7061  df-oi 7956