Theorem oismo 7986

Description: When is a subclass of , is a strictly monotone ordinal functions, and it is also complete (it is an isomorphism onto all of ). The proof avoids ax-rep 4563 (the second statement is trivial under ax-rep 4563). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oismo.1

Assertion

Ref	Expression
oismo

Proof of Theorem oismo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 6619	. . . . . 6
2		wess 4871	. . . . . 6
3	1, 2	mpi 17	. . . . 5
4		epse 4867	. . . . 5
5		oismo.1	. . . . . 6
6	5	oiiso2 7977	. . . . 5
7	3, 4, 6	sylancl 662	. . . 4
8	5	oicl 7975	. . . . 5
9	5	oif 7976	. . . . . . 7
10		frn 5742	. . . . . . 7
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6
12		id 22	. . . . . 6
13	11, 12	syl5ss 3514	. . . . 5
14		smoiso2 7059	. . . . 5
15	8, 13, 14	sylancr 663	. . . 4
16	7, 15	mpbird 232	. . 3
17	16	simprd 463	. 2
18	11	a1i 11	. . 3
19		simprl 756	. . . . . . . 8
20	3	adantr 465	. . . . . . . . . 10
21	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10
22		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . 13
23	9, 22	mp1i 12	. . . . . . . . . . . 12
24		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
26	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	5	oiiniseg 7979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30	25, 26, 27, 28, 29	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	ord 377	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	24, 31	mt3d 125	. . . . . . . . . . . . . 14
33		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	33	epelc 4798	. . . . . . . . . . . . . 14
35	32, 34	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
37		ffnfv 6057	. . . . . . . . . . . 12
38	23, 36, 37	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11
39	9, 22	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41		smogt 7057	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	39, 40, 28, 41	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		ordelon 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	8, 28, 43	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	45, 27	sseldd 3504	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47		ontr2 4930	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48	44, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	42, 35, 48	mp2and 679	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	ssrdv 3509	. . . . . . . . . . . 12
52	19, 51	ssexd 4599	. . . . . . . . . . 11
53		fex2 6755	. . . . . . . . . . 11
54	38, 52, 19, 53	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
55	5	ordtype2 7980	. . . . . . . . . 10
56	20, 21, 54, 55	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
57		isof1o 6221	. . . . . . . . 9
58		f1ofo 5828	. . . . . . . . 9
59		forn 5803	. . . . . . . . 9
60	56, 57, 58, 59	4syl 21	. . . . . . . 8
61	19, 60	eleqtrrd 2548	. . . . . . 7
62	61	expr 615	. . . . . 6
63	62	pm2.18d 111	. . . . 5
64	63	ex 434	. . . 4
65	64	ssrdv 3509	. . 3
66	18, 65	eqssd 3520	. 2
67	17, 66	jca 532	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  Smowsmo 7035  OrdIsocoi 7955

This theorem is referenced by:  oiid  7987  hsmexlem1  8827  hsmexlem2  8828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-smo 7036  df-recs 7061  df-oi 7956