MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oismo Unicode version

Theorem oismo 7986
Description: When is a subclass of , is a strictly monotone ordinal functions, and it is also complete (it is an isomorphism onto all of ). The proof avoids ax-rep 4563 (the second statement is trivial under ax-rep 4563). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oismo.1
Assertion
Ref Expression
oismo

Proof of Theorem oismo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 6619 . . . . . 6
2 wess 4871 . . . . . 6
31, 2mpi 17 . . . . 5
4 epse 4867 . . . . 5
5 oismo.1 . . . . . 6
65oiiso2 7977 . . . . 5
73, 4, 6sylancl 662 . . . 4
85oicl 7975 . . . . 5
95oif 7976 . . . . . . 7
10 frn 5742 . . . . . . 7
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6
12 id 22 . . . . . 6
1311, 12syl5ss 3514 . . . . 5
14 smoiso2 7059 . . . . 5
158, 13, 14sylancr 663 . . . 4
167, 15mpbird 232 . . 3
1716simprd 463 . 2
1811a1i 11 . . 3
19 simprl 756 . . . . . . . 8
203adantr 465 . . . . . . . . . 10
214a1i 11 . . . . . . . . . 10
22 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . 13
239, 22mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12
24 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
253ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
295oiiniseg 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3025, 26, 27, 28, 29syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130ord 377 . . . . . . . . . . . . . . 15
3224, 31mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . 14
33 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433epelc 4798 . . . . . . . . . . . . . 14
3532, 34sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
3635ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
37 ffnfv 6057 . . . . . . . . . . . 12
3823, 36, 37sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
399, 22mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 smogt 7057 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4239, 40, 28, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 ordelon 4907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
448, 28, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645, 27sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 ontr2 4930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
4942, 35, 48mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . 14
5049ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
5150ssrdv 3509 . . . . . . . . . . . 12
5219, 51ssexd 4599 . . . . . . . . . . 11
53 fex2 6755 . . . . . . . . . . 11
5438, 52, 19, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
555ordtype2 7980 . . . . . . . . . 10
5620, 21, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
57 isof1o 6221 . . . . . . . . 9
58 f1ofo 5828 . . . . . . . . 9
59 forn 5803 . . . . . . . . 9
6056, 57, 58, 594syl 21 . . . . . . . 8
6119, 60eleqtrrd 2548 . . . . . . 7
6261expr 615 . . . . . 6
6362pm2.18d 111 . . . . 5
6463ex 434 . . . 4
6564ssrdv 3509 . . 3
6618, 65eqssd 3520 . 2
6717, 66jca 532 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452   cep 4794  Sewse 4841  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  Smowsmo 7035  OrdIsocoi 7955
This theorem is referenced by:  oiid  7987  hsmexlem1  8827  hsmexlem2  8828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-smo 7036  df-recs 7061  df-oi 7956
  Copyright terms: Public domain W3C validator