MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzrdg Unicode version

Theorem om2uzrdg 12067
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either or ) with characteristic function (x, ) and initial value . Normally is a function on the partition, and is a member of the partition. See also comment in om2uz0i 12058. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
Assertion
Ref Expression
om2uzrdg
Distinct variable groups:   ,   , ,   ,   , ,

Proof of Theorem om2uzrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . 3
2 fveq2 5871 . . . 4
31fveq2d 5875 . . . 4
42, 3opeq12d 4225 . . 3
51, 4eqeq12d 2479 . 2
6 fveq2 5871 . . 3
7 fveq2 5871 . . . 4
86fveq2d 5875 . . . 4
97, 8opeq12d 4225 . . 3
106, 9eqeq12d 2479 . 2
11 fveq2 5871 . . 3
12 fveq2 5871 . . . 4
1311fveq2d 5875 . . . 4
1412, 13opeq12d 4225 . . 3
1511, 14eqeq12d 2479 . 2
16 fveq2 5871 . . 3
17 fveq2 5871 . . . 4
1816fveq2d 5875 . . . 4
1917, 18opeq12d 4225 . . 3
2016, 19eqeq12d 2479 . 2
21 uzrdg.2 . . . . 5
2221fveq1i 5872 . . . 4
23 opex 4716 . . . . 5
24 fr0g 7120 . . . . 5
2523, 24ax-mp 5 . . . 4
2622, 25eqtri 2486 . . 3
27 om2uz.1 . . . . 5
28 om2uz.2 . . . . 5
2927, 28om2uz0i 12058 . . . 4
3026fveq2i 5874 . . . . 5
3127elexi 3119 . . . . . 6
32 uzrdg.1 . . . . . 6
3331, 32op2nd 6809 . . . . 5
3430, 33eqtri 2486 . . . 4
3529, 34opeq12i 4222 . . 3
3626, 35eqtr4i 2489 . 2
37 frsuc 7121 . . . . . 6
3821fveq1i 5872 . . . . . 6
3921fveq1i 5872 . . . . . . 7
4039fveq2i 5874 . . . . . 6
4137, 38, 403eqtr4g 2523 . . . . 5
42 fveq2 5871 . . . . . 6
43 df-ov 6299 . . . . . . 7
44 fvex 5881 . . . . . . . 8
45 fvex 5881 . . . . . . . 8
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
47 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
4846, 47opeq12d 4225 . . . . . . . . 9
49 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
5049opeq2d 4224 . . . . . . . . 9
51 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
52 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
5351, 52opeq12d 4225 . . . . . . . . . 10
54 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
5554opeq2d 4224 . . . . . . . . . 10
5653, 55cbvmpt2v 6377 . . . . . . . . 9
57 opex 4716 . . . . . . . . 9
5848, 50, 56, 57ovmpt2 6438 . . . . . . . 8
5944, 45, 58mp2an 672 . . . . . . 7
6043, 59eqtr3i 2488 . . . . . 6
6142, 60syl6eq 2514 . . . . 5
6241, 61sylan9eq 2518 . . . 4
6327, 28om2uzsuci 12059 . . . . . 6
6463adantr 465 . . . . 5
6562fveq2d 5875 . . . . . 6
66 ovex 6324 . . . . . . 7
67 ovex 6324 . . . . . . 7
6866, 67op2nd 6809 . . . . . 6
6965, 68syl6eq 2514 . . . . 5
7064, 69opeq12d 4225 . . . 4
7162, 70eqtr4d 2501 . . 3
7271ex 434 . 2
735, 10, 15, 20, 36, 72finds 6726 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109   c0 3784  <.cop 4035  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |`cres 5006  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   c2nd 6799  reccrdg 7094  1c1 9514   caddc 9516   cz 10889
This theorem is referenced by:  uzrdglem  12068  uzrdgfni  12069  uzrdgsuci  12071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator