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Theorem omass 7248
Description: Multiplication of ordinal numbers is associative. Theorem 8.26 of [TakeutiZaring] p. 65. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omass

Proof of Theorem omass
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
2 oveq2 6304 . . . . . . 7
32oveq2d 6312 . . . . . 6
41, 3eqeq12d 2479 . . . . 5
5 oveq2 6304 . . . . . 6
6 oveq2 6304 . . . . . . 7
76oveq2d 6312 . . . . . 6
85, 7eqeq12d 2479 . . . . 5
9 oveq2 6304 . . . . . 6
10 oveq2 6304 . . . . . . 7
1110oveq2d 6312 . . . . . 6
129, 11eqeq12d 2479 . . . . 5
13 oveq2 6304 . . . . . 6
14 oveq2 6304 . . . . . . 7
1514oveq2d 6312 . . . . . 6
1613, 15eqeq12d 2479 . . . . 5
17 omcl 7205 . . . . . . 7
18 om0 7186 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
20 om0 7186 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6312 . . . . . . 7
22 om0 7186 . . . . . . 7
2321, 22sylan9eqr 2520 . . . . . 6
2419, 23eqtr4d 2501 . . . . 5
25 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
26 omsuc 7195 . . . . . . . . . . 11
2717, 26stoic3 1609 . . . . . . . . . 10
28 omsuc 7195 . . . . . . . . . . . . 13
29283adant1 1014 . . . . . . . . . . . 12
3029oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
31 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 odi 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3331, 32syl3an2 1262 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34333exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14
3635com34 83 . . . . . . . . . . . . 13
3736pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . 12
38373imp 1190 . . . . . . . . . . 11
3930, 38eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
4027, 39eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
4125, 40syl5ibr 221 . . . . . . . 8
42413exp 1195 . . . . . . 7
4342com3r 79 . . . . . 6
4443impd 431 . . . . 5
4517ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
46 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 omlim 7202 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . 14
4945, 48sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
5049an32s 804 . . . . . . . . . . . 12
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
52 iuneq2 4347 . . . . . . . . . . . 12
53 limelon 4946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5446, 53mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5554anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5655ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57 omordi 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5856, 57sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 ssid 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
60 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6261rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6359, 62mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6458, 63syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564ralrimiv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 iunss2 4375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
69 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7054, 69sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7270, 71sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 omordlim 7245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7646, 75mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7954, 78sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8079, 31sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
81 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
82813ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
83 omwordi 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8482, 83syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
85843exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8680, 85syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8786exp4d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8887imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8988com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9190reximdvai 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9277, 91syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9392exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9493imp4c 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9573, 94mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 iunss2 4375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
10068, 99eqssd 3520 . . . . . . . . . . . . 13
101 omlimcl 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10246, 101mpanlr1 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104 omlim 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105103, 104mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106102, 105sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
108107an32s 804 . . . . . . . . . . . . 13
109100, 108eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
11052, 109sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11
11151, 110eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
112111exp31 604 . . . . . . . . 9
113 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . 13
114 ord0eln0 4937 . . . . . . . . . . . . . 14
115114necon2bbid 2713 . . . . . . . . . . . . 13
116113, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
118 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118, 22sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120119oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 om0r 7208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122120, 121sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124, 121sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126125oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127126, 22sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128127an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . 15
129123, 128eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
130129ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
13154, 130sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
132131adantll 713 . . . . . . . . . . 11
133117, 132sylbird 235 . . . . . . . . . 10
134133a1dd 46 . . . . . . . . 9
135112, 134pm2.61d 158 . . . . . . . 8
136135exp31 604 . . . . . . 7
137136com3l 81 . . . . . 6
138137impd 431 . . . . 5
1394, 8, 12, 16, 24, 44, 138tfinds3 6699 . . . 4
140139expd 436 . . 3
141140com3l 81 . 2
1421413imp 1190 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  oeoalem  7264  omabs  7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154
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