Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omcl Unicode version

Theorem omcl 7205
 Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
omcl

Proof of Theorem omcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . 4
21eleq1d 2526 . . 3
3 oveq2 6304 . . . 4
43eleq1d 2526 . . 3
5 oveq2 6304 . . . 4
65eleq1d 2526 . . 3
7 oveq2 6304 . . . 4
87eleq1d 2526 . . 3
9 om0 7186 . . . 4
10 0elon 4936 . . . 4
119, 10syl6eqel 2553 . . 3
12 oacl 7204 . . . . . . 7
1312expcom 435 . . . . . 6
1413adantr 465 . . . . 5
15 omsuc 7195 . . . . . 6
1615eleq1d 2526 . . . . 5
1714, 16sylibrd 234 . . . 4
1817expcom 435 . . 3
19 vex 3112 . . . . . 6
20 iunon 7028 . . . . . 6
2119, 20mpan 670 . . . . 5
22 omlim 7202 . . . . . . 7
2319, 22mpanr1 683 . . . . . 6
2423eleq1d 2526 . . . . 5
2521, 24syl5ibr 221 . . . 4
2625expcom 435 . . 3
272, 4, 6, 8, 11, 18, 26tfinds3 6699 . 2
2827impcom 430 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147 This theorem is referenced by:  oecl  7206  omordi  7234  omord2  7235  omcan  7237  omword  7238  omwordri  7240  om00  7243  om00el  7244  omlimcl  7246  odi  7247  omass  7248  oneo  7249  omeulem1  7250  omeulem2  7251  omopth2  7252  oeoelem  7266  oeoe  7267  oeeui  7270  oaabs2  7313  omxpenlem  7638  omxpen  7639  cantnfle  8111  cantnflt  8112  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem3  8131  cantnflem4  8132  cantnfleOLD  8141  cantnfltOLD  8142  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152  cantnflem3OLD  8153  cantnflem4OLD  8154  cnfcomlem  8164  cnfcomlemOLD  8172  xpnum  8353  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421  dfac12lem2  8545 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
 Copyright terms: Public domain W3C validator