MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omeu Unicode version

Theorem omeu 7253
Description: The division algorithm for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeu
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,

Proof of Theorem omeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeulem1 7250 . . 3
2 opex 4716 . . . . . . . . 9
32isseti 3115 . . . . . . . 8
4 19.41v 1771 . . . . . . . 8
53, 4mpbiran 918 . . . . . . 7
65rexbii 2959 . . . . . 6
7 rexcom4 3129 . . . . . 6
86, 7bitr3i 251 . . . . 5
98rexbii 2959 . . . 4
10 rexcom4 3129 . . . 4
119, 10bitri 249 . . 3
121, 11sylib 196 . 2
13 simp2rl 1065 . . . . . . . . . . 11
14 simp3rl 1069 . . . . . . . . . . . 12
15 simp2rr 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simp3rr 1070 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
18 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 simp13 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 simp2ll 1063 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 simp2lr 1064 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 simp3ll 1067 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 simp3lr 1068 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 omopth2 7252 . . . . . . . . . . . . . . 15
2518, 19, 20, 21, 22, 23, 24syl222anc 1244 . . . . . . . . . . . . . 14
2617, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
27 opeq12 4219 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2914, 28eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
3013, 29eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
31303expia 1198 . . . . . . . . 9
3231exp4b 607 . . . . . . . 8
3332expd 436 . . . . . . 7
3433rexlimdvv 2955 . . . . . 6
3534imp 429 . . . . 5
3635rexlimdvv 2955 . . . 4
3736expimpd 603 . . 3
3837alrimivv 1720 . 2
39 opeq1 4217 . . . . . . 7
4039eqeq2d 2471 . . . . . 6
41 oveq2 6304 . . . . . . . 8
4241oveq1d 6311 . . . . . . 7
4342eqeq1d 2459 . . . . . 6
4440, 43anbi12d 710 . . . . 5
45 opeq2 4218 . . . . . . 7
4645eqeq2d 2471 . . . . . 6
47 oveq2 6304 . . . . . . 7
4847eqeq1d 2459 . . . . . 6
4946, 48anbi12d 710 . . . . 5
5044, 49cbvrex2v 3093 . . . 4
51 eqeq1 2461 . . . . . 6
5251anbi1d 704 . . . . 5
53522rexbidv 2975 . . . 4
5450, 53syl5bb 257 . . 3
5554eu4 2338 . 2
5612, 38, 55sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  =/=wne 2652  E.wrex 2808   c0 3784  <.cop 4035   con0 4883  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  oeeui  7270  omxpenlem  7638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator