Theorem omeu 7253

Description: The division algorithm for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omeu

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem omeu

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeulem1 7250	. . 3
2		opex 4716	. . . . . . . . 9
3	2	isseti 3115	. . . . . . . 8
4		19.41v 1771	. . . . . . . 8
5	3, 4	mpbiran 918	. . . . . . 7
6	5	rexbii 2959	. . . . . 6
7		rexcom4 3129	. . . . . 6
8	6, 7	bitr3i 251	. . . . 5
9	8	rexbii 2959	. . . 4
10		rexcom4 3129	. . . 4
11	9, 10	bitri 249	. . 3
12	1, 11	sylib 196	. 2
13		simp2rl 1065	. . . . . . . . . . 11
14		simp3rl 1069	. . . . . . . . . . . 12
15		simp2rr 1066	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		simp3rr 1070	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	15, 16	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . 14
18		simp11 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15
19		simp13 1028	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		simp2ll 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		simp2lr 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15
22		simp3ll 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		simp3lr 1068	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		omopth2 7252	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	syl222anc 1244	. . . . . . . . . . . . . 14
26	17, 25	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13
27		opeq12 4219	. . . . . . . . . . . . 13
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
29	14, 28	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11
30	13, 29	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10
31	30	3expia 1198	. . . . . . . . 9
32	31	exp4b 607	. . . . . . . 8
33	32	expd 436	. . . . . . 7
34	33	rexlimdvv 2955	. . . . . 6
35	34	imp 429	. . . . 5
36	35	rexlimdvv 2955	. . . 4
37	36	expimpd 603	. . 3
38	37	alrimivv 1720	. 2
39		opeq1 4217	. . . . . . 7
40	39	eqeq2d 2471	. . . . . 6
41		oveq2 6304	. . . . . . . 8
42	41	oveq1d 6311	. . . . . . 7
43	42	eqeq1d 2459	. . . . . 6
44	40, 43	anbi12d 710	. . . . 5
45		opeq2 4218	. . . . . . 7
46	45	eqeq2d 2471	. . . . . 6
47		oveq2 6304	. . . . . . 7
48	47	eqeq1d 2459	. . . . . 6
49	46, 48	anbi12d 710	. . . . 5
50	44, 49	cbvrex2v 3093	. . . 4
51		eqeq1 2461	. . . . . 6
52	51	anbi1d 704	. . . . 5
53	52	2rexbidv 2975	. . . 4
54	50, 53	syl5bb 257	. . 3
55	54	eu4 2338	. 2
56	12, 38, 55	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  =/=wne 2652  E.wrex 2808  c0 3784  <.cop 4035  con0 4883  (class class class)co 6296  coa 7146  comu 7147

This theorem is referenced by:  oeeui  7270  omxpenlem  7638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154