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Theorem omeulem1 7250
Description: Lemma for omeu 7253: existence part. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
omeulem1
Distinct variable groups:   , ,   , ,

Proof of Theorem omeulem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . 3
2 sucelon 6652 . . . . . 6
31, 2sylib 196 . . . . 5
4 simp1 996 . . . . 5
5 on0eln0 4938 . . . . . . 7
65biimpar 485 . . . . . 6
763adant2 1015 . . . . 5
8 omword2 7242 . . . . 5
93, 4, 7, 8syl21anc 1227 . . . 4
10 sucidg 4961 . . . . 5
11 ssel 3497 . . . . 5
1210, 11syl5 32 . . . 4
139, 1, 12sylc 60 . . 3
14 suceq 4948 . . . . . 6
1514oveq2d 6312 . . . . 5
1615eleq2d 2527 . . . 4
1716rspcev 3210 . . 3
181, 13, 17syl2anc 661 . 2
19 suceq 4948 . . . . . 6
2019oveq2d 6312 . . . . 5
2120eleq2d 2527 . . . 4
2221onminex 6642 . . 3
23 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423elon 4892 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ordzsl 6680 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13
27 noel 3788 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 om0x 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3028, 29syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3130eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3227, 31mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
34 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 raleq 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3837sucid 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4140eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4438, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4536, 44syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4634, 35, 45sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
47 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4847eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5134, 46, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52513expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352rexlimdvw 2952 . . . . . . . . . . . . . 14
54 ralnex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5623a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
57 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 omlim 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5955, 56, 57, 58syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6059eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
63623ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6463, 24sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
65 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
66 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6764, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
68 suceloni 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
71 sssucid 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
72 omwordi 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7371, 72mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7467, 69, 70, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7574sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
76753expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7776reximdvai 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7861, 77syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7960, 78sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8154, 80syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
84833ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . . . . 14
8533, 53, 843jaod 1292 . . . . . . . . . . . . 13
8626, 85syl5bi 217 . . . . . . . . . . . 12
8786impr 619 . . . . . . . . . . 11
88 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13
89 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
90 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
92 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12
93 ontri1 4917 . . . . . . . . . . . 12
9491, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
9587, 94mpbird 232 . . . . . . . . . 10
96 oawordex 7225 . . . . . . . . . . 11
9791, 92, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
9895, 97mpbid 210 . . . . . . . . 9
99983adantr1 1155 . . . . . . . 8
100 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . 13
101 simp21 1029 . . . . . . . . . . . . . 14
102 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 omsuc 7195 . . . . . . . . . . . . . . 15
105102, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
106101, 105eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13
107100, 106eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
108 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . 13
109102, 103, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
110 oaord 7215 . . . . . . . . . . . . 13
111108, 102, 109, 110syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
112107, 111mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
113112, 100jca 532 . . . . . . . . . 10
1141133expia 1198 . . . . . . . . 9
115114reximdv2 2928 . . . . . . . 8
11699, 115mpd 15 . . . . . . 7
117116expcom 435 . . . . . 6
1181173expia 1198 . . . . 5
119118com13 80 . . . 4
120119reximdvai 2929 . . 3
12122, 120syl5 32 . 2
12218, 121mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  omeu  7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154
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