MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Unicode version

Theorem ominf 7752
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 7559 . . 3
2 nnord 6708 . . . . . . . 8
3 ordom 6709 . . . . . . . 8
4 ordelssne 4910 . . . . . . . 8
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . 7
65ibi 241 . . . . . 6
7 df-pss 3491 . . . . . 6
86, 7sylibr 212 . . . . 5
9 ensym 7584 . . . . 5
10 pssinf 7750 . . . . 5
118, 9, 10syl2an 477 . . . 4
1211rexlimiva 2945 . . 3
131, 12sylbi 195 . 2
14 pm2.01 168 . 2
1513, 14ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  Ordword 4882   com 6700   cen 7533   cfn 7536
This theorem is referenced by:  fineqv  7755  nnsdomg  7799  ackbij1lem18  8638  fin23lem21  8740  fin23lem28  8741  fin23lem30  8743  isfin1-2  8786  uzinf  12076  bitsf1  14096  odhash  16594  ufinffr  20430  diophin  30706  diophren  30747  fiphp3d  30753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator