Theorem omlim 7202

Description: Ordinal multiplication with a limit ordinal. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
omlim

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem omlim

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 4946	. . 3
2		simpr 461	. . 3
3	1, 2	jca 532	. 2
4		rdglim2a 7118	. . . 4
5	4	adantl 466	. . 3
6		omv 7181	. . . . 5
7		onelon 4908	. . . . . . . 8
8		omv 7181	. . . . . . . 8
9	7, 8	sylan2 474	. . . . . . 7
10	9	anassrs 648	. . . . . 6
11	10	iuneq2dv 4352	. . . . 5
12	6, 11	eqeq12d 2479	. . . 4
13	12	adantrr 716	. . 3
14	5, 13	mpbird 232	. 2
15	3, 14	sylan2 474	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  c0 3784  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  con0 4883  Limwlim 4884  `cfv 5593  (class class class)co 6296  reccrdg 7094  coa 7146  comu 7147

This theorem is referenced by:  omcl  7205  om0r  7208  om1r  7211  omordi  7234  omwordri  7240  omordlim  7245  omlimcl  7246  odi  7247  omass  7248  omeulem1  7250  oeoalem  7264  oeoelem  7266  omabslem  7314  omabs  7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-omul 7154