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Theorem omlimcl 7246
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl

Proof of Theorem omlimcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 4946 . . . 4
2 omcl 7205 . . . . 5
3 eloni 4893 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
51, 4sylan2 474 . . 3
65adantr 465 . 2
7 0ellim 4945 . . . . . . . 8
8 n0i 3789 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
10 n0i 3789 . . . . . . 7
119, 10anim12ci 567 . . . . . 6
1211adantll 713 . . . . 5
1312adantll 713 . . . 4
14 om00 7243 . . . . . . . 8
1514notbid 294 . . . . . . 7
16 ioran 490 . . . . . . 7
1715, 16syl6bb 261 . . . . . 6
181, 17sylan2 474 . . . . 5
1918adantr 465 . . . 4
2013, 19mpbird 232 . . 3
21 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2221sucid 4962 . . . . . . . . . 10
23 omlim 7202 . . . . . . . . . . 11
24 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . 12
2524biimpac 486 . . . . . . . . . . 11
2623, 25sylan 471 . . . . . . . . . 10
2722, 26syl5eleq 2551 . . . . . . . . 9
28 eliun 4335 . . . . . . . . 9
2927, 28sylib 196 . . . . . . . 8
3029adantlr 714 . . . . . . 7
31 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
321, 31sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 onnbtwn 4974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
3832, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
3938adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13
4039adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4342, 31jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
441, 43sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14
47 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
49 ordsucelsuc 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51 oa1suc 7200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5251eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5350, 52bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5447, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
57 ordgt0ge1 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
60 1on 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
61 oaword 7217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6260, 61mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6347, 62syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6459, 63bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6564biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66 omsuc 7195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6865, 67sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6968sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7055, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7271biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7370, 72syl9 71 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 sucelon 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77 omord 7236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7977, 78syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8076, 79syl3an2b 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81803comr 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82813expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
8475, 83syl6d 69 . . . . . . . . . . . . . 14
8546, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
8685an32s 804 . . . . . . . . . . . 12
8786imp 429 . . . . . . . . . . 11
8841, 87mtod 177 . . . . . . . . . 10
8988exp31 604 . . . . . . . . 9
9089rexlimdv 2947 . . . . . . . 8
9190adantr 465 . . . . . . 7
9230, 91mpd 15 . . . . . 6
9392pm2.01da 442 . . . . 5
9493adantr 465 . . . 4
9594nrexdv 2913 . . 3
96 ioran 490 . . 3
9720, 95, 96sylanbrc 664 . 2
98 dflim3 6682 . 2
996, 97, 98sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   c1o 7142   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  odi  7247  omass  7248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154
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