Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omoe Unicode version

Theorem omoe 14336
 Description: The difference of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
omoe

Proof of Theorem omoe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 14046 . . . . 5
2 odd2np1 14046 . . . . 5
31, 2bi2anan9 873 . . . 4
4 reeanv 3025 . . . . 5
5 2z 10921 . . . . . . . . 9
6 zsubcl 10931 . . . . . . . . 9
7 dvdsmul1 14005 . . . . . . . . 9
85, 6, 7sylancr 663 . . . . . . . 8
9 zcn 10894 . . . . . . . . 9
10 zcn 10894 . . . . . . . . 9
11 2cn 10631 . . . . . . . . . . . 12
12 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
1311, 12mpan 670 . . . . . . . . . . 11
14 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
1511, 14mpan 670 . . . . . . . . . . 11
16 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . 12
17 pnpcan2 9882 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17mp3an3 1313 . . . . . . . . . . 11
1913, 15, 18syl2an 477 . . . . . . . . . 10
20 subdi 10015 . . . . . . . . . . 11
2111, 20mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10
2219, 21eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
239, 10, 22syl2an 477 . . . . . . . 8
248, 23breqtrrd 4478 . . . . . . 7
25 oveq12 6305 . . . . . . . 8
2625breq2d 4464 . . . . . . 7
2724, 26syl5ibcom 220 . . . . . 6
2827rexlimivv 2954 . . . . 5
294, 28sylbir 213 . . . 4
303, 29syl6bi 228 . . 3
3130imp 429 . 2
3231an4s 826 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  2c2 10610   cz 10889   cdvds 13986 This theorem is referenced by:  oddprm  14339  pythagtriplem13  14351  lgsquad2lem1  23633  lgsquad3  23636  jm2.22  30937  jm2.23  30938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-dvds 13987
 Copyright terms: Public domain W3C validator