MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth2 Unicode version

Theorem omopth2 7252
Description: An ordered pair-like theorem for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omopth2

Proof of Theorem omopth2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1049 . . . . . . 7
2 eloni 4893 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 simpl3l 1051 . . . . . . 7
5 eloni 4893 . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
7 ordtri3or 4915 . . . . . 6
83, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5
9 simpr 461 . . . . . . . . 9
10 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . 12
11 omcl 7205 . . . . . . . . . . . 12
1210, 4, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
13 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . 12
14 onelon 4908 . . . . . . . . . . . 12
1510, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
16 oacl 7204 . . . . . . . . . . 11
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
18 eloni 4893 . . . . . . . . . 10
19 ordirr 4901 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9
219, 20eqneltrd 2566 . . . . . . . 8
22 orc 385 . . . . . . . . 9
23 omeulem2 7251 . . . . . . . . . 10
2423adantr 465 . . . . . . . . 9
2522, 24syl5 32 . . . . . . . 8
2621, 25mtod 177 . . . . . . 7
2726pm2.21d 106 . . . . . 6
28 idd 24 . . . . . 6
2920, 9neleqtrrd 2570 . . . . . . . 8
30 orc 385 . . . . . . . . 9
31 simpl1r 1048 . . . . . . . . . 10
32 simpl2r 1050 . . . . . . . . . 10
33 omeulem2 7251 . . . . . . . . . 10
3410, 31, 4, 13, 1, 32, 33syl222anc 1244 . . . . . . . . 9
3530, 34syl5 32 . . . . . . . 8
3629, 35mtod 177 . . . . . . 7
3736pm2.21d 106 . . . . . 6
3827, 28, 373jaod 1292 . . . . 5
398, 38mpd 15 . . . 4
40 onelon 4908 . . . . . . . 8
41 eloni 4893 . . . . . . . 8
4240, 41syl 16 . . . . . . 7
4310, 32, 42syl2anc 661 . . . . . 6
44 eloni 4893 . . . . . . . 8
4514, 44syl 16 . . . . . . 7
4610, 13, 45syl2anc 661 . . . . . 6
47 ordtri3or 4915 . . . . . 6
4843, 46, 47syl2anc 661 . . . . 5
49 olc 384 . . . . . . . . . 10
5049, 24syl5 32 . . . . . . . . 9
5139, 50mpand 675 . . . . . . . 8
5221, 51mtod 177 . . . . . . 7
5352pm2.21d 106 . . . . . 6
54 idd 24 . . . . . 6
5539eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
56 olc 384 . . . . . . . . . 10
5756, 34syl5 32 . . . . . . . . 9
5855, 57mpand 675 . . . . . . . 8
5929, 58mtod 177 . . . . . . 7
6059pm2.21d 106 . . . . . 6
6153, 54, 603jaod 1292 . . . . 5
6248, 61mpd 15 . . . 4
6339, 62jca 532 . . 3
6463ex 434 . 2
65 oveq2 6304 . . 3
66 id 22 . . 3
6765, 66oveqan12d 6315 . 2
6864, 67impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  Ordword 4882   con0 4883  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  omeu  7253  dfac12lem2  8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator