Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthi Unicode version

Theorem omopthi 7325
 Description: An ordered pair theorem for . Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. This proof is adapted from nn0opthi 12350. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopth.1
omopth.2
omopth.3
omopth.4
Assertion
Ref Expression
omopthi

Proof of Theorem omopthi
StepHypRef Expression
1 omopth.1 . . . . . . . . . . . . 13
2 omopth.2 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2nnacli 7282 . . . . . . . . . . . 12
43nnoni 6707 . . . . . . . . . . 11
54onordi 4987 . . . . . . . . . 10
6 omopth.3 . . . . . . . . . . . . 13
7 omopth.4 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7nnacli 7282 . . . . . . . . . . . 12
98nnoni 6707 . . . . . . . . . . 11
109onordi 4987 . . . . . . . . . 10
11 ordtri3 4919 . . . . . . . . . 10
125, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . . 9
1312con2bii 332 . . . . . . . 8
141, 2, 8, 7omopthlem2 7324 . . . . . . . . . 10
15 eqcom 2466 . . . . . . . . . 10
1614, 15sylnib 304 . . . . . . . . 9
176, 7, 3, 2omopthlem2 7324 . . . . . . . . 9
1816, 17jaoi 379 . . . . . . . 8
1913, 18sylbir 213 . . . . . . 7
2019con4i 130 . . . . . 6
21 id 22 . . . . . . . . 9
2220, 20oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
2421, 23eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
253, 3nnmcli 7283 . . . . . . . . 9
26 nnacan 7296 . . . . . . . . 9
2725, 2, 7, 26mp3an 1324 . . . . . . . 8
2824, 27sylib 196 . . . . . . 7
2928oveq2d 6312 . . . . . 6
3020, 29eqtr4d 2501 . . . . 5
31 nnacom 7285 . . . . . 6
322, 1, 31mp2an 672 . . . . 5
33 nnacom 7285 . . . . . 6
342, 6, 33mp2an 672 . . . . 5
3530, 32, 343eqtr4g 2523 . . . 4
36 nnacan 7296 . . . . 5
372, 1, 6, 36mp3an 1324 . . . 4
3835, 37sylib 196 . . 3
3938, 28jca 532 . 2
40 oveq12 6305 . . . 4
4140, 40oveq12d 6314 . . 3
42 simpr 461 . . 3
4341, 42oveq12d 6314 . 2
4439, 43impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  Ordword 4882  (class class class)co 6296   com 6700   coa 7146   comu 7147 This theorem is referenced by:  omopth  7326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154
 Copyright terms: Public domain W3C validator