Theorem omopthi 7325

Description: An ordered pair theorem for . Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. This proof is adapted from nn0opthi 12350. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
omopth.1
omopth.2
omopth.3
omopth.4

Assertion

Ref	Expression
omopthi

Proof of Theorem omopthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omopth.1	. . . . . . . . . . . . 13
2		omopth.2	. . . . . . . . . . . . 13
3	1, 2	nnacli 7282	. . . . . . . . . . . 12
4	3	nnoni 6707	. . . . . . . . . . 11
5	4	onordi 4987	. . . . . . . . . 10
6		omopth.3	. . . . . . . . . . . . 13
7		omopth.4	. . . . . . . . . . . . 13
8	6, 7	nnacli 7282	. . . . . . . . . . . 12
9	8	nnoni 6707	. . . . . . . . . . 11
10	9	onordi 4987	. . . . . . . . . 10
11		ordtri3 4919	. . . . . . . . . 10
12	5, 10, 11	mp2an 672	. . . . . . . . 9
13	12	con2bii 332	. . . . . . . 8
14	1, 2, 8, 7	omopthlem2 7324	. . . . . . . . . 10
15		eqcom 2466	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	sylnib 304	. . . . . . . . 9
17	6, 7, 3, 2	omopthlem2 7324	. . . . . . . . 9
18	16, 17	jaoi 379	. . . . . . . 8
19	13, 18	sylbir 213	. . . . . . 7
20	19	con4i 130	. . . . . 6
21		id 22	. . . . . . . . 9
22	20, 20	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10
23	22	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9
24	21, 23	eqtr4d 2501	. . . . . . . 8
25	3, 3	nnmcli 7283	. . . . . . . . 9
26		nnacan 7296	. . . . . . . . 9
27	25, 2, 7, 26	mp3an 1324	. . . . . . . 8
28	24, 27	sylib 196	. . . . . . 7
29	28	oveq2d 6312	. . . . . 6
30	20, 29	eqtr4d 2501	. . . . 5
31		nnacom 7285	. . . . . 6
32	2, 1, 31	mp2an 672	. . . . 5
33		nnacom 7285	. . . . . 6
34	2, 6, 33	mp2an 672	. . . . 5
35	30, 32, 34	3eqtr4g 2523	. . . 4
36		nnacan 7296	. . . . 5
37	2, 1, 6, 36	mp3an 1324	. . . 4
38	35, 37	sylib 196	. . 3
39	38, 28	jca 532	. 2
40		oveq12 6305	. . . 4
41	40, 40	oveq12d 6314	. . 3
42		simpr 461	. . 3
43	41, 42	oveq12d 6314	. 2
44	39, 43	impbii 188	1

Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  Ordword 4882  (class class class)co 6296  com 6700  coa 7146  comu 7147

This theorem is referenced by:  omopth  7326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154