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Theorem omordi 7234
Description: Ordering property of ordinal multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omordi

Proof of Theorem omordi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4908 . . . . . 6
21ex 434 . . . . 5
3 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
4 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
54eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
63, 5imbi12d 320 . . . . . . . . 9
7 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
8 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
98eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
107, 9imbi12d 320 . . . . . . . . 9
11 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
12 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
1312eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
1411, 13imbi12d 320 . . . . . . . . 9
15 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
16 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
1716eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10
1815, 17imbi12d 320 . . . . . . . . 9
19 noel 3788 . . . . . . . . . . 11
2019pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
22 elsuci 4949 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
24 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2523, 24jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 oaword1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2726sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2827imim2d 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 oaord1 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3231biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3433eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3532, 34syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3730, 36jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3825, 37sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15
3922, 38syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14
40 omsuc 7195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
4339, 42sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13
4443exp43 612 . . . . . . . . . . . 12
4544com12 31 . . . . . . . . . . 11
4645adantld 467 . . . . . . . . . 10
4746impd 431 . . . . . . . . 9
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5150biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5352ssiun2s 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 omlim 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5856, 57mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6055, 59sseqtr4d 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15
6149, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
62 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 oaord1 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6462, 63sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564anabss1 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
67 omsuc 7195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6966, 68eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
7261, 71sseldd 3504 . . . . . . . . . . . . 13
7372exp53 617 . . . . . . . . . . . 12
7473com13 80 . . . . . . . . . . 11
7574imp4c 591 . . . . . . . . . 10
7675a1dd 46 . . . . . . . . 9
776, 10, 14, 18, 21, 47, 76tfinds3 6699 . . . . . . . 8
7877com23 78 . . . . . . 7
7978exp4a 606 . . . . . 6
8079exp4a 606 . . . . 5
812, 80mpdd 40 . . . 4
8281com34 83 . . 3
8382com24 87 . 2
8483imp31 432 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  omord2  7235  omcan  7237  odi  7247  omass  7248  oen0  7254  oeordi  7255  oeordsuc  7262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
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