Theorem omsmo 7322

Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omsmo

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem omsmo

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 755	. 2
2		omsmolem 7321	. . . . . . . . 9
3	2	adantl 466	. . . . . . . 8
4	3	imp 429	. . . . . . 7
5		omsmolem 7321	. . . . . . . . 9
6	5	adantr 465	. . . . . . . 8
7	6	imp 429	. . . . . . 7
8	4, 7	orim12d 838	. . . . . 6
9	8	ancoms 453	. . . . 5
10	9	con3d 133	. . . 4
11		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . 11
12		ssel 3497	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	syl5 32	. . . . . . . . . 10
14	13	expdimp 437	. . . . . . . . 9
15		eloni 4893	. . . . . . . . 9
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . . 8
17		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . 11
18		ssel 3497	. . . . . . . . . . 11
19	17, 18	syl5 32	. . . . . . . . . 10
20	19	expdimp 437	. . . . . . . . 9
21		eloni 4893	. . . . . . . . 9
22	20, 21	syl6 33	. . . . . . . 8
23	16, 22	anim12d 563	. . . . . . 7
24	23	imp 429	. . . . . 6
25		ordtri3 4919	. . . . . 6
26	24, 25	syl 16	. . . . 5
27	26	adantlr 714	. . . 4
28		nnord 6708	. . . . . 6
29		nnord 6708	. . . . . 6
30		ordtri3 4919	. . . . . 6
31	28, 29, 30	syl2an 477	. . . . 5
32	31	adantl 466	. . . 4
33	10, 27, 32	3imtr4d 268	. . 3
34	33	ralrimivva 2878	. 2
35		dff13 6166	. 2
36	1, 34, 35	sylanbrc 664	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  com 6700

This theorem is referenced by:  unblem4  7795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fv 5601  df-om 6701