MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omwordri Unicode version

Theorem omwordri 7240
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordri

Proof of Theorem omwordri
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . . 6
2 oveq2 6304 . . . . . 6
31, 2sseq12d 3532 . . . . 5
4 oveq2 6304 . . . . . 6
5 oveq2 6304 . . . . . 6
64, 5sseq12d 3532 . . . . 5
7 oveq2 6304 . . . . . 6
8 oveq2 6304 . . . . . 6
97, 8sseq12d 3532 . . . . 5
10 oveq2 6304 . . . . . 6
11 oveq2 6304 . . . . . 6
1210, 11sseq12d 3532 . . . . 5
13 om0 7186 . . . . . . 7
14 0ss 3814 . . . . . . 7
1513, 14syl6eqss 3553 . . . . . 6
1615ad2antrr 725 . . . . 5
17 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . 14
18173adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13
19 omcl 7205 . . . . . . . . . . . . . 14
20193adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
21 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13
22 oawordri 7218 . . . . . . . . . . . . 13
2318, 20, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
2423imp 429 . . . . . . . . . . 11
2524adantrl 715 . . . . . . . . . 10
26 oaword 7217 . . . . . . . . . . . . 13
2720, 26syld3an3 1273 . . . . . . . . . . . 12
2827biimpa 484 . . . . . . . . . . 11
2928adantrr 716 . . . . . . . . . 10
3025, 29sstrd 3513 . . . . . . . . 9
31 omsuc 7195 . . . . . . . . . . 11
32313adant2 1015 . . . . . . . . . 10
3332adantr 465 . . . . . . . . 9
34 omsuc 7195 . . . . . . . . . . 11
35343adant1 1014 . . . . . . . . . 10
3635adantr 465 . . . . . . . . 9
3730, 33, 363sstr4d 3546 . . . . . . . 8
3837exp520 1217 . . . . . . 7
3938com3r 79 . . . . . 6
4039imp4c 591 . . . . 5
41 vex 3112 . . . . . . . 8
42 ss2iun 4346 . . . . . . . . . 10
43 omlim 7202 . . . . . . . . . . . 12
4443ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11
45 omlim 7202 . . . . . . . . . . . 12
4645adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4744, 46sseq12d 3532 . . . . . . . . . 10
4842, 47syl5ibr 221 . . . . . . . . 9
4948anandirs 831 . . . . . . . 8
5041, 49mpanr1 683 . . . . . . 7
5150expcom 435 . . . . . 6
5251adantrd 468 . . . . 5
533, 6, 9, 12, 16, 40, 52tfinds3 6699 . . . 4
5453expd 436 . . 3
55543impib 1194 . 2
56553coml 1203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U_ciun 4330   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  (class class class)co 6296   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  omword2  7242  oewordri  7260  oeordsuc  7262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154
  Copyright terms: Public domain W3C validator