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Theorem omxpenlem 7638
Description: Lemma for omxpen 7639. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
omxpenlem.1
Assertion
Ref Expression
omxpenlem
Distinct variable groups:   , ,   , ,

Proof of Theorem omxpenlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4893 . . . . . . . . 9
21ad2antlr 726 . . . . . . . 8
3 simprl 756 . . . . . . . 8
4 ordsucss 6653 . . . . . . . 8
52, 3, 4sylc 60 . . . . . . 7
6 onelon 4908 . . . . . . . . . 10
76ad2ant2lr 747 . . . . . . . . 9
8 suceloni 6648 . . . . . . . . 9
97, 8syl 16 . . . . . . . 8
10 simplr 755 . . . . . . . 8
11 simpll 753 . . . . . . . 8
12 omwordi 7239 . . . . . . . 8
139, 10, 11, 12syl3anc 1228 . . . . . . 7
145, 13mpd 15 . . . . . 6
15 simprr 757 . . . . . . . 8
16 onelon 4908 . . . . . . . . . 10
1716ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9
18 omcl 7205 . . . . . . . . . 10
1911, 7, 18syl2anc 661 . . . . . . . . 9
20 oaord 7215 . . . . . . . . 9
2117, 11, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . 8
2215, 21mpbid 210 . . . . . . 7
23 omsuc 7195 . . . . . . . 8
2411, 7, 23syl2anc 661 . . . . . . 7
2522, 24eleqtrrd 2548 . . . . . 6
2614, 25sseldd 3504 . . . . 5
2726ralrimivva 2878 . . . 4
28 omxpenlem.1 . . . . 5
2928fmpt2 6867 . . . 4
3027, 29sylib 196 . . 3
31 ffn 5736 . . 3
3230, 31syl 16 . 2
33 simpll 753 . . . . . . 7
34 omcl 7205 . . . . . . . 8
35 onelon 4908 . . . . . . . 8
3634, 35sylan 471 . . . . . . 7
37 noel 3788 . . . . . . . . . . . 12
38 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
39 om0r 7208 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . 13
4140eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
4237, 41mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11
4342ex 434 . . . . . . . . . 10
4443necon2ad 2670 . . . . . . . . 9
4544adantl 466 . . . . . . . 8
4645imp 429 . . . . . . 7
47 omeu 7253 . . . . . . 7
4833, 36, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . 6
49 vex 3112 . . . . . . . . 9
50 vex 3112 . . . . . . . . 9
5149, 50brcnv 5190 . . . . . . . 8
52 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352biimpac 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
546ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5856, 57, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
59 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6056, 59, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61 oaword1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6258, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
63 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6434ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65 ontr2 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6658, 64, 65syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6762, 63, 66mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69 ne0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7063, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
71 on0eln0 4938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7264, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7370, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
74 om00el 7244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7574ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7673, 75mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7776simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78 omord2 7235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7957, 68, 56, 77, 78syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8067, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8255, 81impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483pm5.32rd 640 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8553, 84sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
8786pm5.32rd 640 . . . . . . . . . . . . 13
88 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . 14
8988anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . 13
9087, 89syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12
9190anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11
92 an12 797 . . . . . . . . . . 11
9391, 92syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
94932exbidv 1716 . . . . . . . . 9
95 df-mpt2 6301 . . . . . . . . . . . 12
96 dfoprab2 6343 . . . . . . . . . . . 12
9728, 95, 963eqtri 2490 . . . . . . . . . . 11
9897breqi 4458 . . . . . . . . . 10
99 df-br 4453 . . . . . . . . . 10
100 opabid 4759 . . . . . . . . . 10
10198, 99, 1003bitri 271 . . . . . . . . 9
102 r2ex 2980 . . . . . . . . 9
10394, 101, 1023bitr4g 288 . . . . . . . 8
10451, 103syl5bb 257 . . . . . . 7
105104eubidv 2304 . . . . . 6
10648, 105mpbird 232 . . . . 5
107106ralrimiva 2871 . . . 4
108 fnres 5702 . . . 4
109107, 108sylibr 212 . . 3
110 relcnv 5379 . . . . 5
111 df-rn 5015 . . . . . 6
112 frn 5742 . . . . . . 7
11330, 112syl 16 . . . . . 6
114111, 113syl5eqssr 3548 . . . . 5
115 relssres 5316 . . . . 5
116110, 114, 115sylancr 663 . . . 4
117116fneq1d 5676 . . 3
118109, 117mpbid 210 . 2
119 dff1o4 5829 . 2
12032, 118, 119sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296  {coprab 6297  e.cmpt2 6298   coa 7146   comu 7147
This theorem is referenced by:  omxpen  7639  omf1o  7640  infxpenc  8416  infxpencOLD  8421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154
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