Theorem on0eln0 4938

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 4893	. 2
2		ord0eln0 4937	. 2
3	1, 2	syl 16	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  e.wcel 1818  =/=wne 2652  c0 3784  Ordword 4882  con0 4883

This theorem is referenced by:  ondif1  7170  oe0lem  7182  oevn0  7184  oa00  7227  omord  7236  om00  7243  om00el  7244  omeulem1  7250  omeulem2  7251  oewordri  7260  oeordsuc  7262  oelim2  7263  oeoa  7265  oeoe  7267  oeeui  7270  omabs  7315  omxpenlem  7638  cantnff  8114  cantnfp1lem2  8119  cantnfp1lem3  8120  cantnfp1  8121  cantnflem1d  8128  cantnflem1  8129  cantnflem3  8131  cantnflem4  8132  cantnf  8133  cantnfp1lem2OLD  8145  cantnfp1lem3OLD  8146  cantnfp1OLD  8147  cantnflem1dOLD  8151  cantnflem1OLD  8152  cantnflem3OLD  8153  cantnflem4OLD  8154  cantnfOLD  8155  cnfcomlem  8164  cnfcom3  8169  cnfcomlemOLD  8172  cnfcom3OLD  8177  r1tskina  9181  onsucconi  29902  onint1  29914  frlmpwfi  31046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887