MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onasuc Unicode version

Theorem onasuc 7102
Description: Addition with successor. Theorem 4I(A2) of [Enderton] p. 79. (Note that this version of oasuc 7098 does not need Replacement.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onasuc

Proof of Theorem onasuc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 7026 . . . 4
21adantl 466 . . 3
3 peano2 6629 . . . . 5
43adantl 466 . . . 4
5 fvres 5827 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
7 fvres 5827 . . . . 5
87adantl 466 . . . 4
98fveq2d 5817 . . 3
102, 6, 93eqtr3d 2503 . 2
11 nnon 6615 . . . 4
12 suceloni 6557 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
14 oav 7085 . . 3
1513, 14sylan2 474 . 2
16 ovex 6247 . . . 4
17 suceq 4901 . . . . 5
18 eqid 2454 . . . . 5
1916sucex 6555 . . . . 5
2017, 18, 19fvmpt 5897 . . . 4
2116, 20ax-mp 5 . . 3
22 oav 7085 . . . . 5
2311, 22sylan2 474 . . . 4
2423fveq2d 5817 . . 3
2521, 24syl5eqr 2509 . 2
2610, 15, 253eqtr4d 2505 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  e.cmpt 4467   con0 4836  succsuc 4838  |`cres 4959  `cfv 5537  (class class class)co 6222   com 6609  reccrdg 6999   coa 7051
This theorem is referenced by:  oa1suc  7105  nnasuc  7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-oadd 7058
  Copyright terms: Public domain W3C validator