MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onasuc Unicode version

Theorem onasuc 6929
Description: Addition with successor. Theorem 4I(A2) of [Enderton] p. 79. (Note that this version of oasuc 6925 does not need Replacement.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onasuc

Proof of Theorem onasuc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 6851 . . . 4
21adantl 456 . . 3
3 peano2 6466 . . . . 5
43adantl 456 . . . 4
5 fvres 5674 . . . 4
64, 5syl 16 . . 3
7 fvres 5674 . . . . 5
87adantl 456 . . . 4
98fveq2d 5665 . . 3
102, 6, 93eqtr3d 2462 . 2
11 nnon 6452 . . . 4
12 suceloni 6394 . . . 4
1311, 12syl 16 . . 3
14 oav 6912 . . 3
1513, 14sylan2 464 . 2
16 ovex 6086 . . . 4
17 suceq 4755 . . . . 5
18 eqid 2422 . . . . 5
1916sucex 6392 . . . . 5
2017, 18, 19fvmpt 5744 . . . 4
2116, 20ax-mp 5 . . 3
22 oav 6912 . . . . 5
2311, 22sylan2 464 . . . 4
2423fveq2d 5665 . . 3
2521, 24syl5eqr 2468 . 2
2610, 15, 253eqtr4d 2464 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  e.cmpt 4325   con0 4690  succsuc 4692  |`cres 4813  `cfv 5390  (class class class)co 6061   com 6446  reccrdg 6824   coa 6878
This theorem is referenced by:  oa1suc  6932  nnasuc  7006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-oadd 6885
  Copyright terms: Public domain W3C validator