Theorem ondomon 8959

Description: The collection of ordinal numbers dominated by a set is an ordinal number. (In general, not all collections of ordinal numbers are ordinal.) Theorem 56 of [Suppes] p. 227. This theorem can be proved (with a longer proof) without the Axiom of Choice; see hartogs 7990. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ondomon

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ondomon

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4908	. . . . . . . . . . . 12
2		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
3		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . 14
4	3	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13
5		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . 13
6	2, 4, 5	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . 12
7	1, 6	jca 532	. . . . . . . . . . 11
8		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	anim2i 569	. . . . . . . . . . . 12
10	9	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11
11	7, 10	sylan 471	. . . . . . . . . 10
12	11	exp31 604	. . . . . . . . 9
13	12	com12 31	. . . . . . . 8
14	13	impd 431	. . . . . . 7
15		breq1 4455	. . . . . . . 8
16	15	elrab 3257	. . . . . . 7
17		breq1 4455	. . . . . . . 8
18	17	elrab 3257	. . . . . . 7
19	14, 16, 18	3imtr4g 270	. . . . . 6
20	19	imp 429	. . . . 5
21	20	gen2 1619	. . . 4
22		dftr2 4547	. . . 4
23	21, 22	mpbir 209	. . 3
24		ssrab2 3584	. . 3
25		ordon 6618	. . 3
26		trssord 4900	. . 3
27	23, 24, 25, 26	mp3an 1324	. 2
28		elex 3118	. . . . . 6
29		canth2g 7691	. . . . . . . . 9
30		domsdomtr 7672	. . . . . . . . 9
31	29, 30	sylan2 474	. . . . . . . 8
32	31	expcom 435	. . . . . . 7
33	32	ralrimivw 2872	. . . . . 6
34	28, 33	syl 16	. . . . 5
35		ss2rab 3575	. . . . 5
36	34, 35	sylibr 212	. . . 4
37		pwexg 4636	. . . . . 6
38		numth3 8871	. . . . . 6
39		cardval2 8393	. . . . . 6
40	37, 38, 39	3syl 20	. . . . 5
41		fvex 5881	. . . . 5
42	40, 41	syl6eqelr 2554	. . . 4
43		ssexg 4598	. . . 4
44	36, 42, 43	syl2anc 661	. . 3
45		elong 4891	. . 3
46	44, 45	syl 16	. 2
47	27, 46	mpbiri 233	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  Trwtr 4545  Ordword 4882  con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  cdom 7534  csdm 7535  ccrd 8337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-ac 8518