Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomon Unicode version

Theorem ondomon 8959
 Description: The collection of ordinal numbers dominated by a set is an ordinal number. (In general, not all collections of ordinal numbers are ordinal.) Theorem 56 of [Suppes] p. 227. This theorem can be proved (with a longer proof) without the Axiom of Choice; see hartogs 7990. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ondomon
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ondomon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4908 . . . . . . . . . . . 12
2 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
3 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . 14
43imp 429 . . . . . . . . . . . . 13
5 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . . 13
62, 4, 5mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12
71, 6jca 532 . . . . . . . . . . 11
8 domtr 7588 . . . . . . . . . . . . 13
98anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12
109anassrs 648 . . . . . . . . . . 11
117, 10sylan 471 . . . . . . . . . 10
1211exp31 604 . . . . . . . . 9
1312com12 31 . . . . . . . 8
1413impd 431 . . . . . . 7
15 breq1 4455 . . . . . . . 8
1615elrab 3257 . . . . . . 7
17 breq1 4455 . . . . . . . 8
1817elrab 3257 . . . . . . 7
1914, 16, 183imtr4g 270 . . . . . 6
2019imp 429 . . . . 5
2120gen2 1619 . . . 4
22 dftr2 4547 . . . 4
2321, 22mpbir 209 . . 3
24 ssrab2 3584 . . 3
25 ordon 6618 . . 3
26 trssord 4900 . . 3
2723, 24, 25, 26mp3an 1324 . 2
28 elex 3118 . . . . . 6
29 canth2g 7691 . . . . . . . . 9
30 domsdomtr 7672 . . . . . . . . 9
3129, 30sylan2 474 . . . . . . . 8
3231expcom 435 . . . . . . 7
3332ralrimivw 2872 . . . . . 6
3428, 33syl 16 . . . . 5
35 ss2rab 3575 . . . . 5
3634, 35sylibr 212 . . . 4
37 pwexg 4636 . . . . . 6
38 numth3 8871 . . . . . 6
39 cardval2 8393 . . . . . 6
4037, 38, 393syl 20 . . . . 5
41 fvex 5881 . . . . 5
4240, 41syl6eqelr 2554 . . . 4
43 ssexg 4598 . . . 4
4436, 42, 43syl2anc 661 . . 3
45 elong 4891 . . 3
4644, 45syl 16 . 2
4727, 46mpbiri 233 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  Trwtr 4545  Ordword 4882   con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593   cdom 7534   csdm 7535   ccrd 8337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341  df-ac 8518
 Copyright terms: Public domain W3C validator