Theorem oneo 7249

Description: If an ordinal number is even, its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oneo

Proof of Theorem oneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnbtwn 4974	. . 3
2	1	3ad2ant1 1017	. 2
3		suceq 4948	. . . . 5
4	3	eqeq1d 2459	. . . 4
5	4	3ad2ant3 1019	. . 3
6		ovex 6324	. . . . . . . 8
7	6	sucid 4962	. . . . . . 7
8		eleq2 2530	. . . . . . 7
9	7, 8	mpbii 211	. . . . . 6
10		2on 7157	. . . . . . . 8
11		omord 7236	. . . . . . . 8
12	10, 11	mp3an3 1313	. . . . . . 7
13		simpl 457	. . . . . . 7
14	12, 13	syl6bir 229	. . . . . 6
15	9, 14	syl5 32	. . . . 5
16		simpr 461	. . . . . . . . 9
17		omcl 7205	. . . . . . . . . . . . 13
18	10, 17	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12
19		oa1suc 7200	. . . . . . . . . . . 12
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11
21		1on 7156	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	elexi 3119	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	sucid 4962	. . . . . . . . . . . . . 14
24		df-2o 7150	. . . . . . . . . . . . . 14
25	23, 24	eleqtrri 2544	. . . . . . . . . . . . 13
26		oaord 7215	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	21, 10, 26	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . . . 14
28	18, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
29	25, 28	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12
30		omsuc 7195	. . . . . . . . . . . . 13
31	10, 30	mpan 670	. . . . . . . . . . . 12
32	29, 31	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . 11
33	20, 32	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . 10
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
35	16, 34	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8
36		suceloni 6648	. . . . . . . . . . 11
37		omord 7236	. . . . . . . . . . . 12
38	10, 37	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . 11
39	36, 38	sylan2 474	. . . . . . . . . 10
40	39	ancoms 453	. . . . . . . . 9
41	40	adantr 465	. . . . . . . 8
42	35, 41	mpbird 232	. . . . . . 7
43	42	simpld 459	. . . . . 6
44	43	ex 434	. . . . 5
45	15, 44	jcad 533	. . . 4
46	45	3adant3 1016	. . 3
47	5, 46	sylbid 215	. 2
48	2, 47	mtod 177	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  c0 3784  con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296  c1o 7142  c2o 7143  coa 7146  comu 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154