Theorem oneqmin 6640

Description: A way to show that an ordinal number equals the minimum of a nonempty collection of ordinal numbers: it must be in the collection, and it must not be larger than any member of the collection. (Contributed by NM, 14-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
oneqmin

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem oneqmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 6630	. . . 4
2		eleq1 2529	. . . 4
3	1, 2	syl5ibrcom 222	. . 3
4		eleq2 2530	. . . . . . 7
5	4	biimpd 207	. . . . . 6
6		onnmin 6638	. . . . . . . 8
7	6	ex 434	. . . . . . 7
8	7	con2d 115	. . . . . 6
9	5, 8	syl9r 72	. . . . 5
10	9	ralrimdv 2873	. . . 4
11	10	adantr 465	. . 3
12	3, 11	jcad 533	. 2
13		oneqmini 4934	. . 3
14	13	adantr 465	. 2
15	12, 14	impbid 191	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  con0 4883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887