Theorem onfr 4922

Description: The ordinal class is well-founded. This lemma is needed for ordon 6618 in order to eliminate the need for the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
onfr

Proof of Theorem onfr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfepfr 4869	. 2
2		n0 3794	. . . 4
3		ineq2 3693	. . . . . . . . . 10
4	3	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
5	4	rspcev 3210	. . . . . . . 8
6	5	adantll 713	. . . . . . 7
7		inss1 3717	. . . . . . . 8
8		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . 12
9		eloni 4893	. . . . . . . . . . . 12
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . . . 11
11		ordfr 4898	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . . 10
13		inss2 3718	. . . . . . . . . . 11
14		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	inex1 4593	. . . . . . . . . . . 12
16	15	epfrc 4870	. . . . . . . . . . 11
17	13, 16	mp3an2 1312	. . . . . . . . . 10
18	12, 17	sylan 471	. . . . . . . . 9
19		inass 3707	. . . . . . . . . . . . 13
20	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	13, 21	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23		ordelss 4899	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	20, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15
25		dfss1 3702	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14
27	26	ineq2d 3699	. . . . . . . . . . . . 13
28	19, 27	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . 12
29	28	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . 11
30	29	rexbidva 2965	. . . . . . . . . 10
31	30	adantr 465	. . . . . . . . 9
32	18, 31	mpbid 210	. . . . . . . 8
33		ssrexv 3564	. . . . . . . 8
34	7, 32, 33	mpsyl 63	. . . . . . 7
35	6, 34	pm2.61dane 2775	. . . . . 6
36	35	ex 434	. . . . 5
37	36	exlimdv 1724	. . . 4
38	2, 37	syl5bi 217	. . 3
39	38	imp 429	. 2
40	1, 39	mpgbir 1622	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  cep 4794  Frwfr 4840  Ordword 4882  con0 4883

This theorem is referenced by:  ordon  6618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887