MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfununi Unicode version

Theorem onfununi 7031
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1
onfununi.2
Assertion
Ref Expression
onfununi
Distinct variable groups:   , ,S   , ,   ,

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 6621 . . . . . . . . . 10
21ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
3 nelneq 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 elssuni 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
86, 7syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10 ordsseleq 4912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119, 1, 10syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1211anabss1 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135, 12mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163, 15syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . 14
1817pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . 13
1918com23 78 . . . . . . . . . . . 12
2019imp 429 . . . . . . . . . . 11
2120ssrdv 3509 . . . . . . . . . 10
22 ssn0 3818 . . . . . . . . . 10
2321, 22sylan 471 . . . . . . . . 9
2421unissd 4273 . . . . . . . . . . 11
25 orduniss 4977 . . . . . . . . . . . . 13
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2726adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2824, 27eqssd 3520 . . . . . . . . . 10
2928adantr 465 . . . . . . . . 9
30 df-lim 4888 . . . . . . . . 9
312, 23, 29, 30syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8
3231an32s 804 . . . . . . 7
33323adantl1 1152 . . . . . 6
34 ssonuni 6622 . . . . . . . . . 10
35 limeq 4895 . . . . . . . . . . . 12
36 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
37 iuneq1 4344 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
40 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11
4139, 40vtoclg 3167 . . . . . . . . . 10
4234, 41syl6 33 . . . . . . . . 9
4342imp 429 . . . . . . . 8
44433adant3 1016 . . . . . . 7
4544adantr 465 . . . . . 6
4633, 45mpd 15 . . . . 5
47 eluni2 4253 . . . . . . . . . . . 12
48 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948anim1d 564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5248adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5448, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5754, 56syland 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5851, 52, 573jcad 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
6160expd 436 . . . . . . . . . . . . 13
6261reximdvai 2929 . . . . . . . . . . . 12
6347, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
64 ssiun 4372 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl6 33 . . . . . . . . . 10
6665ralrimiv 2869 . . . . . . . . 9
67 iunss 4371 . . . . . . . . 9
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . 8
69 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
7069cbviunv 4369 . . . . . . . 8
7168, 70syl6sseq 3549 . . . . . . 7
72713ad2ant2 1018 . . . . . 6
7372adantr 465 . . . . 5
7446, 73eqsstrd 3537 . . . 4
7574ex 434 . . 3
76 fveq2 5871 . . . 4
7776ssiun2s 4374 . . 3
7875, 77pm2.61d2 160 . 2
7934imp 429 . . . . . 6
80793adant3 1016 . . . . 5
8163ad2ant2 1018 . . . . . 6
824a1i 11 . . . . . 6
8381, 82jcad 533 . . . . 5
84 sseq2 3525 . . . . . . . 8
8584anbi2d 703 . . . . . . 7
8636sseq2d 3531 . . . . . . 7
8785, 86imbi12d 320 . . . . . 6
88593com12 1200 . . . . . . 7
89883expib 1199 . . . . . 6
9087, 89vtoclga 3173 . . . . 5
9180, 83, 90sylsyld 56 . . . 4
9291ralrimiv 2869 . . 3
93 iunss 4371 . . 3
9492, 93sylibr 212 . 2
9578, 94eqssd 3520 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  `cfv 5593
This theorem is referenced by:  onovuni  7032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-iota 5556  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator