MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfununi Unicode version

Theorem onfununi 6761
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1
onfununi.2
Assertion
Ref Expression
onfununi
Distinct variable groups:   , ,S   , ,   ,

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 6367 . . . . . . . . . 10
21ad2antrr 710 . . . . . . . . 9
3 nelneq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 elssuni 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54adantl 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 ssel 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 eloni 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
86, 7syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98imp 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10 ordsseleq 4719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119, 1, 10syl2an 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1211anabss1 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135, 12mpbid 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413ord 370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514con1d 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163, 15syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716exp4b 594 . . . . . . . . . . . . . 14
1817pm2.43d 47 . . . . . . . . . . . . 13
1918com23 75 . . . . . . . . . . . 12
2019imp 422 . . . . . . . . . . 11
2120ssrdv 3339 . . . . . . . . . 10
22 ssn0 3647 . . . . . . . . . 10
2321, 22sylan 461 . . . . . . . . 9
2421unissd 4090 . . . . . . . . . . 11
25 orduniss 4784 . . . . . . . . . . . . 13
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2726adantr 455 . . . . . . . . . . 11
2824, 27eqssd 3350 . . . . . . . . . 10
2928adantr 455 . . . . . . . . 9
30 df-lim 4695 . . . . . . . . 9
312, 23, 29, 30syl3anbrc 1157 . . . . . . . 8
3231an32s 787 . . . . . . 7
33323adantl1 1129 . . . . . 6
34 ssonuni 6368 . . . . . . . . . 10
35 limeq 4702 . . . . . . . . . . . 12
36 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . 13
37 iuneq1 4159 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37eqeq12d 2436 . . . . . . . . . . . 12
3935, 38imbi12d 314 . . . . . . . . . . 11
40 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11
4139, 40vtoclg 3008 . . . . . . . . . 10
4234, 41syl6 32 . . . . . . . . 9
4342imp 422 . . . . . . . 8
44433adant3 993 . . . . . . 7
4544adantr 455 . . . . . 6
4633, 45mpd 15 . . . . 5
47 eluni2 4070 . . . . . . . . . . . 12
48 ssel 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948anim1d 551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 onelon 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5248adantrd 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 eloni 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5448, 53syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 ordelss 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5754, 56syland 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5851, 52, 573jcad 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59syl6 32 . . . . . . . . . . . . . 14
6160exp3a 429 . . . . . . . . . . . . 13
6261reximdvai 2805 . . . . . . . . . . . 12
6347, 62syl5bi 211 . . . . . . . . . . 11
64 ssiun 4187 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl6 32 . . . . . . . . . 10
6665ralrimiv 2777 . . . . . . . . 9
67 iunss 4186 . . . . . . . . 9
6866, 67sylibr 206 . . . . . . . 8
69 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
7069cbviunv 4184 . . . . . . . 8
7168, 70syl6sseq 3379 . . . . . . 7
72713ad2ant2 995 . . . . . 6
7372adantr 455 . . . . 5
7446, 73eqsstrd 3367 . . . 4
7574ex 427 . . 3
76 fveq2 5661 . . . 4
7776ssiun2s 4189 . . 3
7875, 77pm2.61d2 155 . 2
7934imp 422 . . . . . 6
80793adant3 993 . . . . 5
8163ad2ant2 995 . . . . . 6
824a1i 11 . . . . . 6
8381, 82jcad 523 . . . . 5
84 sseq2 3355 . . . . . . . 8
8584anbi2d 688 . . . . . . 7
8636sseq2d 3361 . . . . . . 7
8785, 86imbi12d 314 . . . . . 6
88593com12 1176 . . . . . . 7
89883expib 1175 . . . . . 6
9087, 89vtoclga 3014 . . . . 5
9180, 83, 90sylsyld 55 . . . 4
9291ralrimiv 2777 . . 3
93 iunss 4186 . . 3
9492, 93sylibr 206 . 2
9578, 94eqssd 3350 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 178  \/wo 361  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585  A.wral 2694  E.wrex 2695  C_wss 3305   c0 3614  U.cuni 4066  U_ciun 4146  Ordword 4689   con0 4690  Limwlim 4691  `cfv 5390
This theorem is referenced by:  onovuni  6762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-iota 5353  df-fv 5398
  Copyright terms: Public domain W3C validator