MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfununi Unicode version

Theorem onfununi 6936
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1
onfununi.2
Assertion
Ref Expression
onfununi
Distinct variable groups:   , ,S   , ,   ,

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 6530 . . . . . . . . . 10
21ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
3 nelneq 2571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 elssuni 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 ssel 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 eloni 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
86, 7syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10 ordsseleq 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119, 1, 10syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1211anabss1 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135, 12mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1413ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1514con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163, 15syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . 14
1817pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . 13
1918com23 78 . . . . . . . . . . . 12
2019imp 429 . . . . . . . . . . 11
2120ssrdv 3476 . . . . . . . . . 10
22 ssn0 3784 . . . . . . . . . 10
2321, 22sylan 471 . . . . . . . . 9
2421unissd 4232 . . . . . . . . . . 11
25 orduniss 4930 . . . . . . . . . . . . 13
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2726adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2824, 27eqssd 3487 . . . . . . . . . 10
2928adantr 465 . . . . . . . . 9
30 df-lim 4841 . . . . . . . . 9
312, 23, 29, 30syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8
3231an32s 802 . . . . . . 7
33323adantl1 1144 . . . . . 6
34 ssonuni 6531 . . . . . . . . . 10
35 limeq 4848 . . . . . . . . . . . 12
36 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . 13
37 iuneq1 4301 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
40 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11
4139, 40vtoclg 3139 . . . . . . . . . 10
4234, 41syl6 33 . . . . . . . . 9
4342imp 429 . . . . . . . 8
44433adant3 1008 . . . . . . 7
4544adantr 465 . . . . . 6
4633, 45mpd 15 . . . . 5
47 eluni2 4212 . . . . . . . . . . . 12
48 ssel 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948anim1d 564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 onelon 4861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5248adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 eloni 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5448, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 ordelss 4852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5754, 56syland 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5851, 52, 573jcad 1169 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
6160expd 436 . . . . . . . . . . . . 13
6261reximdvai 2934 . . . . . . . . . . . 12
6347, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
64 ssiun 4329 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl6 33 . . . . . . . . . 10
6665ralrimiv 2829 . . . . . . . . 9
67 iunss 4328 . . . . . . . . 9
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . 8
69 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
7069cbviunv 4326 . . . . . . . 8
7168, 70syl6sseq 3516 . . . . . . 7
72713ad2ant2 1010 . . . . . 6
7372adantr 465 . . . . 5
7446, 73eqsstrd 3504 . . . 4
7574ex 434 . . 3
76 fveq2 5813 . . . 4
7776ssiun2s 4331 . . 3
7875, 77pm2.61d2 160 . 2
7934imp 429 . . . . . 6
80793adant3 1008 . . . . 5
8163ad2ant2 1010 . . . . . 6
824a1i 11 . . . . . 6
8381, 82jcad 533 . . . . 5
84 sseq2 3492 . . . . . . . 8
8584anbi2d 703 . . . . . . 7
8636sseq2d 3498 . . . . . . 7
8785, 86imbi12d 320 . . . . . 6
88593com12 1192 . . . . . . 7
89883expib 1191 . . . . . 6
9087, 89vtoclga 3145 . . . . 5
9180, 83, 90sylsyld 56 . . . 4
9291ralrimiv 2829 . . 3
93 iunss 4328 . . 3
9492, 93sylibr 212 . 2
9578, 94eqssd 3487 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648  A.wral 2800  E.wrex 2801  C_wss 3442   c0 3751  U.cuni 4208  U_ciun 4288  Ordword 4835   con0 4836  Limwlim 4837  `cfv 5537
This theorem is referenced by:  onovuni  6937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-iota 5500  df-fv 5545
  Copyright terms: Public domain W3C validator