MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onint Unicode version

Theorem onint 6630
Description: The intersection (infimum) of a nonempty class of ordinal numbers belongs to the class. Compare Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 45. (Contributed by NM, 31-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
onint

Proof of Theorem onint
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordon 6618 . . . 4
2 tz7.5 4904 . . . 4
31, 2mp3an1 1311 . . 3
4 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . . 15
6 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 ontri1 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 ssel 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
97, 8syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116, 10sylan9 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1211com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1312imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1413ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15 disj 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1716elint2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1814, 15, 173imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . 15
195, 18sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
2019exp32 605 . . . . . . . . . . . . 13
2120com4l 84 . . . . . . . . . . . 12
2221imp32 433 . . . . . . . . . . 11
2322ssrdv 3509 . . . . . . . . . 10
24 intss1 4301 . . . . . . . . . . 11
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
2623, 25eqssd 3520 . . . . . . . . 9
2726eleq1d 2526 . . . . . . . 8
2827biimpd 207 . . . . . . 7
2928exp32 605 . . . . . 6
3029com34 83 . . . . 5
3130pm2.43d 48 . . . 4
3231rexlimdv 2947 . . 3
333, 32syl5 32 . 2
3433anabsi5 817 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286  Ordword 4882   con0 4883
This theorem is referenced by:  onint0  6631  onssmin  6632  onminesb  6633  onminsb  6634  oninton  6635  oneqmin  6640  oeeulem  7269  nnawordex  7305  unblem1  7792  unblem2  7793  tz9.12lem3  8228  scott0  8325  cardid2  8355  ackbij1lem18  8638  cardcf  8653  cff1  8659  cflim2  8664  cfss  8666  cofsmo  8670  fin23lem26  8726  pwfseqlem3  9059  gruina  9217  2ndcdisj  19957  sltval2  29416  nocvxmin  29451  nobndlem5  29456  rankeq1o  29828  dnnumch3  30993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887
  Copyright terms: Public domain W3C validator