Theorem oninton 6635

Description: The intersection of a nonempty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 29-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
oninton

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 6630	. . . 4
2	1	ex 434	. . 3
3		ssel 3497	. . 3
4	2, 3	syld 44	. 2
5	4	imp 429	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  con0 4883

This theorem is referenced by:  onintrab  6636  onnmin  6638  onminex  6642  onmindif2  6647  iinon  7030  oawordeulem  7222  nnawordex  7305  tz9.12lem1  8226  rankf  8233  cardf2  8345  cff  8649  coftr  8674  sltval2  29416  nodenselem4  29444  nocvxminlem  29450  dnnumch3lem  30992  dnnumch3  30993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887