MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onnseq Unicode version

Theorem onnseq 7034
Description: There are no length decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 8097 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onnseq
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem onnseq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 6619 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
43eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
5 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
65eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
7 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
87eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
9 simpl 457 . . . . . . . . . 10
10 suceq 4948 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14
12 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . 13
1413rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
15 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . 13
1615expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16syl6 33 . . . . . . . . . . 11
1817adantld 467 . . . . . . . . . 10
194, 6, 8, 9, 18finds2 6728 . . . . . . . . 9
2019com12 31 . . . . . . . 8
2120ralrimiv 2869 . . . . . . 7
22 eqid 2457 . . . . . . . 8
2322fmpt 6052 . . . . . . 7
2421, 23sylib 196 . . . . . 6
25 frn 5742 . . . . . 6
2624, 25syl 16 . . . . 5
27 peano1 6719 . . . . . . . 8
28 fdm 5740 . . . . . . . . 9
2924, 28syl 16 . . . . . . . 8
3027, 29syl5eleqr 2552 . . . . . . 7
31 ne0i 3790 . . . . . . 7
3230, 31syl 16 . . . . . 6
33 dm0rn0 5224 . . . . . . 7
3433necon3bii 2725 . . . . . 6
3532, 34sylib 196 . . . . 5
36 wefrc 4878 . . . . 5
372, 26, 35, 36syl3anc 1228 . . . 4
38 fvex 5881 . . . . . 6
3938rgenw 2818 . . . . 5
40 fveq2 5871 . . . . . . 7
4140cbvmptv 4543 . . . . . 6
42 ineq2 3693 . . . . . . 7
4342eqeq1d 2459 . . . . . 6
4441, 43rexrnmpt 6041 . . . . 5
4539, 44ax-mp 5 . . . 4
4637, 45sylib 196 . . 3
47 peano2 6720 . . . . . . . . 9
4847adantl 466 . . . . . . . 8
49 eqid 2457 . . . . . . . 8
50 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
5150eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
5251rspcev 3210 . . . . . . . 8
5348, 49, 52sylancl 662 . . . . . . 7
54 fvex 5881 . . . . . . . 8
5522elrnmpt 5254 . . . . . . . 8
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7
5753, 56sylibr 212 . . . . . 6
58 suceq 4948 . . . . . . . . . 10
5958fveq2d 5875 . . . . . . . . 9
60 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
6159, 60eleq12d 2539 . . . . . . . 8
6261rspccva 3209 . . . . . . 7
6362adantll 713 . . . . . 6
64 inelcm 3881 . . . . . 6
6557, 63, 64syl2anc 661 . . . . 5
6665neneqd 2659 . . . 4
6766nrexdv 2913 . . 3
6846, 67pm2.65da 576 . 2
69 rexnal 2905 . 2
7068, 69sylibr 212 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  e.cmpt 4510   cep 4794  Wewwe 4842   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  `cfv 5593   com 6700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-om 6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator