Theorem onnseq 7034

Description: There are no length decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 8097 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onnseq

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem onnseq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 6619	. . . . . 6
2	1	a1i 11	. . . . 5
3		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
4	3	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
5		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
6	5	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
7		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
8	7	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
9		simpl 457	. . . . . . . . . 10
10		suceq 4948	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . . 14
12		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
13	11, 12	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . 12
15		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12
17	14, 16	syl6 33	. . . . . . . . . . 11
18	17	adantld 467	. . . . . . . . . 10
19	4, 6, 8, 9, 18	finds2 6728	. . . . . . . . 9
20	19	com12 31	. . . . . . . 8
21	20	ralrimiv 2869	. . . . . . 7
22		eqid 2457	. . . . . . . 8
23	22	fmpt 6052	. . . . . . 7
24	21, 23	sylib 196	. . . . . 6
25		frn 5742	. . . . . 6
26	24, 25	syl 16	. . . . 5
27		peano1 6719	. . . . . . . 8
28		fdm 5740	. . . . . . . . 9
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . 8
30	27, 29	syl5eleqr 2552	. . . . . . 7
31		ne0i 3790	. . . . . . 7
32	30, 31	syl 16	. . . . . 6
33		dm0rn0 5224	. . . . . . 7
34	33	necon3bii 2725	. . . . . 6
35	32, 34	sylib 196	. . . . 5
36		wefrc 4878	. . . . 5
37	2, 26, 35, 36	syl3anc 1228	. . . 4
38		fvex 5881	. . . . . 6
39	38	rgenw 2818	. . . . 5
40		fveq2 5871	. . . . . . 7
41	40	cbvmptv 4543	. . . . . 6
42		ineq2 3693	. . . . . . 7
43	42	eqeq1d 2459	. . . . . 6
44	41, 43	rexrnmpt 6041	. . . . 5
45	39, 44	ax-mp 5	. . . 4
46	37, 45	sylib 196	. . 3
47		peano2 6720	. . . . . . . . 9
48	47	adantl 466	. . . . . . . 8
49		eqid 2457	. . . . . . . 8
50		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
51	50	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9
52	51	rspcev 3210	. . . . . . . 8
53	48, 49, 52	sylancl 662	. . . . . . 7
54		fvex 5881	. . . . . . . 8
55	22	elrnmpt 5254	. . . . . . . 8
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7
57	53, 56	sylibr 212	. . . . . 6
58		suceq 4948	. . . . . . . . . 10
59	58	fveq2d 5875	. . . . . . . . 9
60		fveq2 5871	. . . . . . . . 9
61	59, 60	eleq12d 2539	. . . . . . . 8
62	61	rspccva 3209	. . . . . . 7
63	62	adantll 713	. . . . . 6
64		inelcm 3881	. . . . . 6
65	57, 63, 64	syl2anc 661	. . . . 5
66	65	neneqd 2659	. . . 4
67	66	nrexdv 2913	. . 3
68	46, 67	pm2.65da 576	. 2
69		rexnal 2905	. 2
70	68, 69	sylibr 212	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  e.cmpt 4510  cep 4794  Wewwe 4842  con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  -->wf 5589  `cfv 5593  com 6700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-om 6701