Theorem onomeneq 7727

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 7725	. . . . . . . . 9
2	1	ad2antlr 726	. . . . . . . 8
3		enen1 7677	. . . . . . . . 9
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8
5	2, 4	mtbird 301	. . . . . . 7
6		peano2 6720	. . . . . . . . . . . . . 14
7		sssucid 4960	. . . . . . . . . . . . . 14
8		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . 14
9	6, 7, 8	mpisyl 18	. . . . . . . . . . . . 13
10		endomtr 7593	. . . . . . . . . . . . 13
11	9, 10	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
12	11	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . 10
14	13	adantll 713	. . . . . . . . 9
15		ssel 3497	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	com12 31	. . . . . . . . . . . . . 14
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13
18		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . 14
19		ordelsuc 6655	. . . . . . . . . . . . . 14
20	18, 19	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13
21	17, 20	sylibd 214	. . . . . . . . . . . 12
22		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
24	21, 23	syld 44	. . . . . . . . . . 11
25	24	ancoms 453	. . . . . . . . . 10
26	25	adantr 465	. . . . . . . . 9
27	14, 26	jcad 533	. . . . . . . 8
28		sbth 7657	. . . . . . . 8
29	27, 28	syl6 33	. . . . . . 7
30	5, 29	mtod 177	. . . . . 6
31		ordom 6709	. . . . . . . . 9
32		ordtri1 4916	. . . . . . . . 9
33	31, 18, 32	sylancr 663	. . . . . . . 8
34	33	con2bid 329	. . . . . . 7
35	34	ad2antrr 725	. . . . . 6
36	30, 35	mpbird 232	. . . . 5
37		simplr 755	. . . . 5
38	36, 37	jca 532	. . . 4
39		nneneq 7720	. . . . 5
40	39	biimpa 484	. . . 4
41	38, 40	sylancom 667	. . 3
42	41	ex 434	. 2
43		eqeng 7569	. . 3
44	43	adantr 465	. 2
45	42, 44	impbid 191	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  com 6700  cen 7533  cdom 7534

This theorem is referenced by:  onfin  7728  ficardom  8363  finnisoeu  8515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539