MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opabex3 Unicode version

Theorem opabex3 6779
Description: Existence of an ordered pair abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3.1
opabex3.2
Assertion
Ref Expression
opabex3
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem opabex3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1775 . . . . . 6
2 an12 797 . . . . . . 7
32exbii 1667 . . . . . 6
4 elxp 5021 . . . . . . . 8
5 excom 1849 . . . . . . . . 9
6 an12 797 . . . . . . . . . . . . 13
7 elsn 4043 . . . . . . . . . . . . . 14
87anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . 13
96, 8bitri 249 . . . . . . . . . . . 12
109exbii 1667 . . . . . . . . . . 11
11 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12
12 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
1312eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13
1413anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
1511, 14ceqsexv 3146 . . . . . . . . . . 11
1610, 15bitri 249 . . . . . . . . . 10
1716exbii 1667 . . . . . . . . 9
185, 17bitri 249 . . . . . . . 8
19 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
20 nfsab1 2446 . . . . . . . . . 10
2119, 20nfan 1928 . . . . . . . . 9
22 nfv 1707 . . . . . . . . 9
23 opeq2 4218 . . . . . . . . . . 11
2423eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
25 sbequ12 1992 . . . . . . . . . . . 12
2625equcoms 1795 . . . . . . . . . . 11
27 df-clab 2443 . . . . . . . . . . 11
2826, 27syl6rbbr 264 . . . . . . . . . 10
2924, 28anbi12d 710 . . . . . . . . 9
3021, 22, 29cbvex 2022 . . . . . . . 8
314, 18, 303bitri 271 . . . . . . 7
3231anbi2i 694 . . . . . 6
331, 3, 323bitr4ri 278 . . . . 5
3433exbii 1667 . . . 4
35 eliun 4335 . . . . 5
36 df-rex 2813 . . . . 5
3735, 36bitri 249 . . . 4
38 elopab 4760 . . . 4
3934, 37, 383bitr4i 277 . . 3
4039eqriv 2453 . 2
41 opabex3.1 . . 3
42 snex 4693 . . . . 5
43 opabex3.2 . . . . 5
44 xpexg 6602 . . . . 5
4542, 43, 44sylancr 663 . . . 4
4645rgen 2817 . . 3
47 iunexg 6776 . . 3
4841, 46, 47mp2an 672 . 2
4940, 48eqeltrri 2542 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  [wsb 1739  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  {copab 4509  X.cxp 5002
This theorem is referenced by:  dvdsrval  17294  eulerpartlemgvv  28315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator