MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opabiota Unicode version

Theorem opabiota 5936
Description: Define a function whose value is "the unique such that (x, )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opabiota.1
opabiota.2
Assertion
Ref Expression
opabiota
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,

Proof of Theorem opabiota
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . 3
2 opabiota.2 . . . 4
32iotabidv 5577 . . 3
41, 3eqeq12d 2479 . 2
5 vex 3112 . . . 4
65eldm 5205 . . 3
7 nfiota1 5558 . . . . 5
87nfeq2 2636 . . . 4
9 opabiota.1 . . . . . . 7
109opabiotafun 5934 . . . . . 6
11 funbrfv 5911 . . . . . 6
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5
13 df-br 4453 . . . . . . . 8
149eleq2i 2535 . . . . . . . 8
15 opabid 4759 . . . . . . . 8
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . 7
17 ssnid 4058 . . . . . . . . 9
18 id 22 . . . . . . . . 9
1917, 18syl5eleqr 2552 . . . . . . . 8
20 abid 2444 . . . . . . . 8
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7
2216, 21sylbi 195 . . . . . 6
23 vex 3112 . . . . . . . . 9
245, 23breldm 5212 . . . . . . . 8
259opabiotadm 5935 . . . . . . . . 9
2625abeq2i 2584 . . . . . . . 8
2724, 26sylib 196 . . . . . . 7
28 iota1 5570 . . . . . . 7
2927, 28syl 16 . . . . . 6
3022, 29mpbid 210 . . . . 5
3112, 30eqtr4d 2501 . . . 4
328, 31exlimi 1912 . . 3
336, 32sylbi 195 . 2
344, 33vtoclga 3173 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  {copab 4509  domcdm 5004  iotacio 5554  Funwfun 5587  `cfv 5593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator