Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opeliunxp Unicode version

Theorem opeliunxp 5056
 Description: Membership in a union of Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 4332 . . 3
21eleq2i 2535 . 2
3 opex 4716 . . 3
4 df-rex 2813 . . . . 5
5 nfv 1707 . . . . . 6
6 nfs1v 2181 . . . . . . 7
7 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
8 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . 9
97, 8nfxp 5031 . . . . . . . 8
109nfcri 2612 . . . . . . 7
116, 10nfan 1928 . . . . . 6
12 sbequ12 1992 . . . . . . 7
13 sneq 4039 . . . . . . . . 9
14 csbeq1a 3443 . . . . . . . . 9
1513, 14xpeq12d 5029 . . . . . . . 8
1615eleq2d 2527 . . . . . . 7
1712, 16anbi12d 710 . . . . . 6
185, 11, 17cbvex 2022 . . . . 5
194, 18bitri 249 . . . 4
20 eleq1 2529 . . . . . 6
2120anbi2d 703 . . . . 5
2221exbidv 1714 . . . 4
2319, 22syl5bb 257 . . 3
243, 23elab 3246 . 2
25 opelxp 5034 . . . . . 6
2625anbi2i 694 . . . . 5
27 an12 797 . . . . 5
28 elsn 4043 . . . . . . 7
29 equcom 1794 . . . . . . 7
3028, 29bitri 249 . . . . . 6
3130anbi1i 695 . . . . 5
3226, 27, 313bitri 271 . . . 4
3332exbii 1667 . . 3
34 vex 3112 . . . 4
35 sbequ12r 1993 . . . . 5
3614equcoms 1795 . . . . . . 7
3736eqcomd 2465 . . . . . 6
3837eleq2d 2527 . . . . 5
3935, 38anbi12d 710 . . . 4
4034, 39ceqsexv 3146 . . 3
4133, 40bitri 249 . 2
422, 24, 413bitri 271 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  [wsb 1739  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  [_csb 3434  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330  X.cxp 5002 This theorem is referenced by:  eliunxp  5145  opeliunxp2  5146  gsum2d2lem  17001  gsum2d2  17002  gsumcom2  17003  dprdval  17034  dprdvalOLD  17036  ptbasfi  20082  cnextfun  20564  cnextfvval  20565  cnextf  20566  dvbsss  22306 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-iun 4332  df-opab 4511  df-xp 5010
 Copyright terms: Public domain W3C validator