Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelopabsb Unicode version

Theorem opelopabsb 4762
 Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
opelopabsb
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem opelopabsb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . . . . . 10
2 vex 3112 . . . . . . . . . 10
31, 2opnzi 4724 . . . . . . . . 9
4 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
54eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10
65necon3ai 2685 . . . . . . . . 9
73, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8
87nex 1627 . . . . . . 7
98nex 1627 . . . . . 6
10 elopab 4760 . . . . . 6
119, 10mtbir 299 . . . . 5
12 eleq1 2529 . . . . 5
1311, 12mtbiri 303 . . . 4
1413necon2ai 2692 . . 3
15 opnz 4723 . . 3
1614, 15sylib 196 . 2
17 sbcex 3337 . . 3
18 spesbc 3420 . . . 4
19 sbcex 3337 . . . . 5
2019exlimiv 1722 . . . 4
2118, 20syl 16 . . 3
2217, 21jca 532 . 2
23 opeq1 4217 . . . . 5
2423eleq1d 2526 . . . 4
25 dfsbcq2 3330 . . . 4
2624, 25bibi12d 321 . . 3
27 opeq2 4218 . . . . 5
2827eleq1d 2526 . . . 4
29 dfsbcq2 3330 . . . . 5
3029sbcbidv 3386 . . . 4
3128, 30bibi12d 321 . . 3
32 nfopab1 4518 . . . . . 6
3332nfel2 2637 . . . . 5
34 nfs1v 2181 . . . . 5
3533, 34nfbi 1934 . . . 4
36 opeq1 4217 . . . . . 6
3736eleq1d 2526 . . . . 5
38 sbequ12 1992 . . . . 5
3937, 38bibi12d 321 . . . 4
40 nfopab2 4519 . . . . . . 7
4140nfel2 2637 . . . . . 6
42 nfs1v 2181 . . . . . 6
4341, 42nfbi 1934 . . . . 5
44 opeq2 4218 . . . . . . 7
4544eleq1d 2526 . . . . . 6
46 sbequ12 1992 . . . . . 6
4745, 46bibi12d 321 . . . . 5
48 opabid 4759 . . . . 5
4943, 47, 48chvar 2013 . . . 4
5035, 39, 49chvar 2013 . . 3
5126, 31, 50vtocl2g 3171 . 2
5216, 22, 51pm5.21nii 353 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  [wsb 1739  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  [.wsbc 3327   c0 3784  <.cop 4035  {copab 4509 This theorem is referenced by:  brabsb  4763  opelopabgf  4772  opelopabaf  4776  opelopabf  4777  difopab  5139  isarep1  5672  fmptsnd  6093 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-opab 4511
 Copyright terms: Public domain W3C validator