Theorem opeqsn 4748

Description: Equivalence for an ordered pair equal to a singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeqsn.1
opeqsn.2
opeqsn.3

Assertion

Ref	Expression
opeqsn

Proof of Theorem opeqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeqsn.1	. . . 4
2		opeqsn.2	. . . 4
3	1, 2	dfop 4216	. . 3
4	3	eqeq1i 2464	. 2
5		snex 4693	. . 3
6		prex 4694	. . 3
7		opeqsn.3	. . 3
8	5, 6, 7	preqsn 4213	. 2
9		eqcom 2466	. . . . 5
10	1, 2, 1	preqsn 4213	. . . . 5
11		eqcom 2466	. . . . . . 7
12	11	anbi2i 694	. . . . . 6
13		anidm 644	. . . . . 6
14	12, 13	bitri 249	. . . . 5
15	9, 10, 14	3bitri 271	. . . 4
16	15	anbi1i 695	. . 3
17		dfsn2 4042	. . . . . . 7
18		preq2 4110	. . . . . . 7
19	17, 18	syl5req 2511	. . . . . 6
20	19	eqeq1d 2459	. . . . 5
21		eqcom 2466	. . . . 5
22	20, 21	syl6bb 261	. . . 4
23	22	pm5.32i 637	. . 3
24	16, 23	bitri 249	. 2
25	4, 8, 24	3bitri 271	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  {csn 4029  {cpr 4031  <.cop 4035

This theorem is referenced by:  relop  5158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036