Theorem opiota 6859

Description: The property of a uniquely specified ordered pair. The proof uses properties of the iota description binder. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opiota.1
opiota.2
opiota.3
opiota.4
opiota.5

Assertion

Ref	Expression
opiota

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,

Proof of Theorem opiota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opiota.4	. . . . . . 7
2		opiota.5	. . . . . . 7
3	1, 2	ceqsrex2v 3235	. . . . . 6
4	3	bicomd 201	. . . . 5
5		opex 4716	. . . . . . . 8
6	5	a1i 11	. . . . . . 7
7		id 22	. . . . . . 7
8		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . 11
9		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . 12
10		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
11		vex 3112	. . . . . . . . . . . . 13
12	10, 11	opth 4726	. . . . . . . . . . . 12
13	9, 12	bitri 249	. . . . . . . . . . 11
14	8, 13	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10
15	14	anbi1d 704	. . . . . . . . 9
16	15	2rexbidv 2975	. . . . . . . 8
17	16	adantl 466	. . . . . . 7
18		nfeu1 2294	. . . . . . 7
19		nfvd 1708	. . . . . . 7
20		nfcvd 2620	. . . . . . 7
21	6, 7, 17, 18, 19, 20	iota2df 5580	. . . . . 6
22		eqcom 2466	. . . . . . 7
23		opiota.1	. . . . . . . 8
24	23	eqeq1i 2464	. . . . . . 7
25	22, 24	bitri 249	. . . . . 6
26	21, 25	syl6bbr 263	. . . . 5
27	4, 26	sylan9bbr 700	. . . 4
28	27	pm5.32da 641	. . 3
29		opelxpi 5036	. . . . . . . . . 10
30		simpl 457	. . . . . . . . . . 11
31	30	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
32	29, 31	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9
33	32	rexlimivv 2954	. . . . . . . 8
34	33	abssi 3574	. . . . . . 7
35		iotacl 5579	. . . . . . 7
36	34, 35	sseldi 3501	. . . . . 6
37	23, 36	syl5eqel 2549	. . . . 5
38		opelxp 5034	. . . . . 6
39		eleq1 2529	. . . . . 6
40	38, 39	syl5bbr 259	. . . . 5
41	37, 40	syl5ibrcom 222	. . . 4
42	41	pm4.71rd 635	. . 3
43		1st2nd2 6837	. . . . 5
44	37, 43	syl 16	. . . 4
45	44	eqeq2d 2471	. . 3
46	28, 42, 45	3bitr2d 281	. 2
47		df-3an 975	. 2
48		opiota.2	. . . . 5
49	48	eqeq2i 2475	. . . 4
50		opiota.3	. . . . 5
51	50	eqeq2i 2475	. . . 4
52	49, 51	anbi12i 697	. . 3
53		fvex 5881	. . . 4
54		fvex 5881	. . . 4
55	53, 54	opth2 4730	. . 3
56	52, 55	bitr4i 252	. 2
57	46, 47, 56	3bitr4g 288	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  E.wrex 2808  cvv 3109  <.cop 4035  X.cxp 5002  iotacio 5554  `cfv 5593  c1st 6798  c2nd 6799

This theorem is referenced by:  oeeui  7270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-1st 6800  df-2nd 6801