Theorem oprabid 6323

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oprabid

Proof of Theorem oprabid

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4716	. 2
2		opex 4716	. . . . . 6
3		vex 3112	. . . . . 6
4	2, 3	eqvinop 4736	. . . . 5
5	4	biimpi 194	. . . 4
6		eqeq1 2461	. . . . . . . 8
7		vex 3112	. . . . . . . . 9
8		vex 3112	. . . . . . . . 9
9	7, 8	opth1 4725	. . . . . . . 8
10	6, 9	syl6bi 228	. . . . . . 7
11		vex 3112	. . . . . . . . . 10
12		vex 3112	. . . . . . . . . 10
13	11, 12	eqvinop 4736	. . . . . . . . 9
14		opeq1 4217	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12
16	11, 12, 3	otth2 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17		df-3an 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	16, 17	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19	18	anbi1i 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21		anass 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	19, 20, 21	3bitri 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	3exbii 1669	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
26	24, 25	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	exdistrf 2075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27	eximi 1656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		excom 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30		excom 1849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31	28, 29, 30	3imtr4i 266	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	32, 33	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	34	exdistrf 2075	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38	36, 37	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	38	exdistrf 2075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	39	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	40	eximi 1656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	31, 35, 41	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	23, 42	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . 14
44		euequ1 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45		eupick 2358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46	44, 45	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47		euequ1 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48		eupick 2358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49	47, 48	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50		euequ1 2288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51		eupick 2358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52	50, 51	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
53	49, 52	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54	46, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	54	3impd 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	16, 55	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	56	com12 31	. . . . . . . . . . . . . 14
58	43, 57	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13
59		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . 15
60		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15
61	59, 60	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14
62	61	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	62	3exbidv 1717	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	63	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . 14
65	61, 64	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13
66	58, 65	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . 12
67	15, 66	syl6bi 228	. . . . . . . . . . 11
68	67	adantr 465	. . . . . . . . . 10
69	68	exlimivv 1723	. . . . . . . . 9
70	13, 69	sylbi 195	. . . . . . . 8
71	70	com3l 81	. . . . . . 7
72	10, 71	mpdd 40	. . . . . 6
73	72	adantr 465	. . . . 5
74	73	exlimivv 1723	. . . 4
75	5, 74	mpcom 36	. . 3
76		19.8a 1857	. . . . 5
77		19.8a 1857	. . . . 5
78		19.8a 1857	. . . . 5
79	76, 77, 78	3syl 20	. . . 4
80	79	ex 434	. . 3
81	75, 80	impbid 191	. 2
82		df-oprab 6300	. 2
83	1, 81, 82	elab2 3249	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  <.cop 4035  {coprab 6297

This theorem is referenced by:  ssoprab2b  6354  ovid  6419  ovidig  6420  tposoprab  7010  xpcomco  7627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-oprab 6300