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Theorem oprabid 6323
Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
oprabid

Proof of Theorem oprabid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4716 . 2
2 opex 4716 . . . . . 6
3 vex 3112 . . . . . 6
42, 3eqvinop 4736 . . . . 5
54biimpi 194 . . . 4
6 eqeq1 2461 . . . . . . . 8
7 vex 3112 . . . . . . . . 9
8 vex 3112 . . . . . . . . 9
97, 8opth1 4725 . . . . . . . 8
106, 9syl6bi 228 . . . . . . 7
11 vex 3112 . . . . . . . . . 10
12 vex 3112 . . . . . . . . . 10
1311, 12eqvinop 4736 . . . . . . . . 9
14 opeq1 4217 . . . . . . . . . . . . 13
1514eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12
1611, 12, 3otth2 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1816, 17bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1918anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
20 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21 anass 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2219, 20, 213bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23223exbii 1669 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2624, 25nfeqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726exdistrf 2075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827eximi 1656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 excom 1849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 excom 1849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3128, 29, 303imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3432, 33nfeqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534exdistrf 2075 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 nfcvf2 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3836, 37nfeqd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3938exdistrf 2075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140eximi 1656 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4231, 35, 413syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
4323, 42sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14
44 euequ1 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45 eupick 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4644, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 euequ1 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 eupick 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4947, 48mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 euequ1 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51 eupick 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5250, 51mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5349, 52syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5446, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55543impd 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5616, 55syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14
5843, 57syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13
59 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15
6159, 60syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14
6261anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63623exbidv 1717 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . 14
6561, 64imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13
6658, 65mpbiri 233 . . . . . . . . . . . 12
6715, 66syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11
6867adantr 465 . . . . . . . . . 10
6968exlimivv 1723 . . . . . . . . 9
7013, 69sylbi 195 . . . . . . . 8
7170com3l 81 . . . . . . 7
7210, 71mpdd 40 . . . . . 6
7372adantr 465 . . . . 5
7473exlimivv 1723 . . . 4
755, 74mpcom 36 . . 3
76 19.8a 1857 . . . . 5
77 19.8a 1857 . . . . 5
78 19.8a 1857 . . . . 5
7976, 77, 783syl 20 . . . 4
8079ex 434 . . 3
8175, 80impbid 191 . 2
82 df-oprab 6300 . 2
831, 81, 82elab2 3249 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  <.cop 4035  {coprab 6297
This theorem is referenced by:  ssoprab2b  6354  ovid  6419  ovidig  6420  tposoprab  7010  xpcomco  7627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-oprab 6300
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