MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta Unicode version

Theorem orbsta 15141
Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of to the orbit of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1
gasta.2
orbsta.r
orbsta.f
orbsta.o
Assertion
Ref Expression
orbsta
Distinct variable groups:   , , , ,   , , , , ,   , ,   , , , , ,   , , , , ,   , , , , ,   ,O   , , , ,
Allowed substitution hints:   ( )   ( , , , , )   ( , , )   O( , , , )   ( )

Proof of Theorem orbsta
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . 5
2 gasta.2 . . . . 5
3 orbsta.r . . . . 5
4 orbsta.f . . . . 5
51, 2, 3, 4orbstafun 15139 . . . 4
6 simpr 449 . . . . . . . 8
76adantr 453 . . . . . . 7
81gaf 15123 . . . . . . . . . 10
98adantr 453 . . . . . . . . 9
109adantr 453 . . . . . . . 8
11 simpr 449 . . . . . . . 8
1210, 11, 7fovrnd 6268 . . . . . . 7
13 eqid 2443 . . . . . . . 8
14 oveq1 6136 . . . . . . . . . 10
1514eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9
1615rspcev 3061 . . . . . . . 8
1711, 13, 16sylancl 645 . . . . . . 7
18 orbsta.o . . . . . . . 8
1918gaorb 15135 . . . . . . 7
207, 12, 17, 19syl3anbrc 1139 . . . . . 6
21 ovex 6154 . . . . . . 7
22 elecg 6992 . . . . . . 7
2321, 7, 22sylancr 646 . . . . . 6
2420, 23mpbird 225 . . . . 5
251, 2gastacl 15137 . . . . . 6
261, 3eqger 15041 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 fvex 5785 . . . . . . 7
291, 28eqeltri 2513 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
314, 24, 27, 30qliftf 7041 . . . 4
325, 31mpbid 203 . . 3
33 eqid 2443 . . . . 5
34 fveq2 5775 . . . . . . . 8
3534eqeq1d 2451 . . . . . . 7
36 eqeq1 2449 . . . . . . 7
3735, 36imbi12d 313 . . . . . 6
3837ralbidv 2732 . . . . 5
39 fveq2 5775 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2454 . . . . . . . 8
41 eqeq2 2452 . . . . . . . 8
4240, 41imbi12d 313 . . . . . . 7
431, 2, 3, 4orbstaval 15140 . . . . . . . . . . . 12
4443adantrr 699 . . . . . . . . . . 11
451, 2, 3, 4orbstaval 15140 . . . . . . . . . . . 12
4645adantrl 698 . . . . . . . . . . 11
4744, 46eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10
481, 2, 3gastacos 15138 . . . . . . . . . 10
4927adantr 453 . . . . . . . . . . 11
50 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
5149, 50erth 6998 . . . . . . . . . 10
5247, 48, 513bitr2d 274 . . . . . . . . 9
5352biimpd 200 . . . . . . . 8
5453anassrs 631 . . . . . . 7
5533, 42, 54ectocld 7020 . . . . . 6
5655ralrimiva 2796 . . . . 5
5733, 38, 56ectocld 7020 . . . 4
5857ralrimiva 2796 . . 3
59 dff13 6052 . . 3
6032, 58, 59sylanbrc 647 . 2
61 vex 2968 . . . . . . . . 9
62 elecg 6992 . . . . . . . . 9
6361, 6, 62sylancr 646 . . . . . . . 8
6418gaorb 15135 . . . . . . . 8
6563, 64syl6bb 254 . . . . . . 7
6665biimpa 472 . . . . . 6
6766simp3d 972 . . . . 5
68 ovex 6154 . . . . . . . . . . . 12
693, 68eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11
7069ecelqsi 7009 . . . . . . . . . 10
7170adantl 454 . . . . . . . . 9
7245eqcomd 2448 . . . . . . . . 9
73 fveq2 5775 . . . . . . . . . . 11
7473eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10
7574rspcev 3061 . . . . . . . . 9
7671, 72, 75syl2anc 644 . . . . . . . 8
77 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9
7877rexbidv 2733 . . . . . . . 8
7976, 78syl5ibcom 213 . . . . . . 7
8079rexlimdva 2837 . . . . . 6
8180imp 420 . . . . 5
8267, 81syldan 458 . . . 4
8382ralrimiva 2796 . . 3
84 dffo3 5932 . . 3
8532, 83, 84sylanbrc 647 . 2
86 df-f1o 5508 . 2
8760, 85, 86sylanbrc 647 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  A.wral 2712  E.wrex 2713  {crab 2716   cvv 2965  C_wss 3309  {cpr 3842  <.cop 3844   class class class wbr 4243  {copab 4300  e.cmpt 4301  X.cxp 4917  rancrn 4920  Funwfun 5495  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  -onto->wfo 5499  -1-1-onto->wf1o 5500  `cfv 5501  (class class class)co 6129  Erwer 6951  [cec 6952  /.cqs 6953   cbs 13520   csubg 14989   cqg 14991   cga 15117
This theorem is referenced by:  orbsta2  15142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-ec 6956  df-qs 6960  df-map 7069  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-2 10109  df-ndx 13523  df-slot 13524  df-base 13525  df-sets 13526  df-ress 13527  df-plusg 13593  df-0g 13778  df-mnd 14741  df-grp 14863  df-minusg 14864  df-subg 14992  df-eqg 14994  df-ga 15118
  Copyright terms: Public domain W3C validator